Математическая энциклопедия - лежандра многочлены

сферические многочлены, многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой

и имеют представление

Наиболее употребительны формулы

Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции

где ряд в правой части сходится, если

Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид

Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра)

к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид

и допускают равномерную и весовую оценки

Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье Лежандра функции f(х).в точке

сходится тогда и только тогда, когда в точке сходится тригонометрия, ряд Фурье функции

В окрестности концов положение иное, ибо последовательность возрастает со скоростью Если функция f(x).на гегменте [-1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка то ряд Фурье Лежандра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [-1, 1]. При условии этот ряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1.

Эти многочлены введены А. Лежандром [1].

Лит.:[1] Legendre А. М., "Memoires de mathematique et de physique, presentes a l'Academie royale des sciences par divers savants", 1785, t. 10, p. 411-34; [2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; см. также лит. при статье Ортогональные многочлены.

П. Я. Суетии.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985