Математическая энциклопедия - лежандрово многообразие

такое n-мерное гладкое подмногообразие -мерного контактного многообразия М ²ⁿ⁺¹ (т. е. многообразия, снабженного пфаффовой формой внешнее произведение к-рой на n-ю внешнюю степень ее внешнего дифференциала во всех точках M^2n+l), что пфаффова форма а, задающая контактную структуру на М ^2п+1, обращается в нуль тождественно на Lⁿ (т. е. для любого вектора X, касающегося Lⁿ в какой-нибудь точке последнего). В важном частном случае, когда с координатами

a Lⁿ расположено так, что qi можно принять за координаты на нем, условно, чтобы Lⁿ было Л. м., означает, что оно задается уравнениями вида

Если при этом р i также можно принять за координаты на Lⁿ, то координаты qi и pi связаны Лежандра преобразованием;если же в окрестности нек-рой точки этого сделать нельзя, то преобразование Лежандра имеет в этой точке особенность.

Примеры Л. м. уже давно встречались в различных вопросах анализа и геометрии, но само понятие Л. м. введено сравнительно недавно по аналогии с лагранжевым многообразием. Л В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985