Математическая энциклопедия - лежандра преобразование

1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве Анормированного пространства Xи обладающая тем свойством, что отображение (здесь f'(х) Фреше производная f) взаимно однозначно отображает Ана множество Тогда Л. п. f это функция на В, определенная формулой

В случае, если f функция на и при этом определитель det отличен от нуля в области А, Л. п. задается формулами

здесь

Преобразование встречается еще у Г. Лейбница (G. Leibnitz), в общем виде определено А. Лежандром (A. Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776).

В случае, если f конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то Л. п. можно определить так:

Выражение (2) с заменой шах на sup было положено (см. [2]) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряженная функция).Примеры. Л. п. функции

одного переменного будет функция

Л. п. функции ( х, х)/2 в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением (Х, Х) будет функция

(y, y)/2.

Л. п., основанное на замене переменных является частным случаем прикосновения преобразования;сущность Л. п. заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве как множества точек ( х, f(x)).и как огибающей семейства ее касательных плоскостей, задаваемых парой состоящей из линейного функционала х* и аффинной касательной функции

Л. п. играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе (см. [1], [2], [4]), в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (см. [6]), в классич. механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математич. физики. Так, применение Л. п. к решению удифференциального уравнения F(x, у, y')=0 переводит его в решение Yуравнения F(Y, XY'-Y, X), где Х=у' (х), Y (Х)= у*(X), к-рое иногда интегрируется проще исходного. Применение Л. п. к лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в Гамильтона функцию. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классич. механике) переходят в эквивалентную систему канонич. уравнений. В термодинамике Л. п. осуществляет переход от одних функций состояния к другим, напр. от удельного объема и энтропии к температуре . и давлению.

Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1970; [2] Г у р с а Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. 1, М.Л., 1936; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [4] Р о к а ф е л л а р Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [5] F е n с h е l W., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77; [6] Caratheodory C., Variations rechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lpz.В., 1935. В. М. Тихомиров.

2) Интегральное преобразование вида

где Р п (х) Лежандра многочлен порядка п. Формула обращения имеет вид

если ряд сходится. Л. п. сводит дифференциальную операцию

к алгебраической по формуле

Для Л. п. имеет место теорема о свертке: если

Е(х) - внутренность эллипса Л. п. является частным случаем Якоби преобразования.

Лит.:[1] Tranter С. J., "Quart. J. Math.", 1950, v. 1,

p. 1-8; [2] Итоги науки. Математический анализ, 1966, М ,

1967, с. 7-82. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985