Математическая энциклопедия - лежандра условие

необходимое условие для решения простейшей задачи вариационного исчисления, предложенное А. Лежандром (A. Legendre, 1786): для того чтобы кривая у 0 (х). доставляла минимум функционалу

необходимо, чтобы во всех точках кривой у(х).вторая производная от подинтегральной функции по у' была неотрицательна

Если уесть га-мерный вектор с координатами y1,. . ., у n, то Л. у. требует неотрицательности квадратичной формы

Для случая максимума функционала знак неравенства в Л. у. меняется на противоположный. Для вариационных задач на условный экстремум аналогом Л. у. является Клебша условие.

Л. у., так же как и Эйлера уравнение, является необходимым условием слабого экстремума. При нарушении Л. у. вторая вариация функционала не сохраняет свой знак и кривая у(х).не доставляет экстремум функционалу.

Если в Л. у. знак нестрогого неравенства заменен на знак строгого неравенства, то такое условие наз. усиленным условием Лежандра. Усиленное Л. у. в отличие от Л. у. не является необходимым. Усиленное Л. у. участвует в формулировке достаточных условий экстремума. Экстремаль, на к-рой выполняется усиленное Л. у., наз. неособой (неособенной) экстремалью. Такая экстремаль дважды непрерывно дифференцируема, и уравнение Эйлера для нее можно представить в виде обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Если на неособой экстремали выполняется усиленное Якоби условие, то можно построить поле экстремалей, окружающее данную экстремаль, что является первым шагом при исследовании достаточных условий экстремума.

Лит.:[1] Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М., 1950; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985