Математическая энциклопедия - лобачевского метод

метод Греффе, метод Данделена,метод для одновременного вычисления всех корней многочлена. Пусть корни r1, r2, . . ., r п многочлена

удовлетворяют неравенствам

В качестве приближений к корням могут быть взяты отношения

Пусть теперь корни f(z), хотя и не выполнено (2), все же различны по абсолютной величине. Л. м. заключается в применении к уравнению f(z) = 0 процесса квадрирования, к-рый при достаточном числе повторений приводит к уравнению с корнями, удовлетворяющими условиям (2). К в а д р и р о в а н и е состоит в переходе от очередного многочлена fr(z) к многочлену fr+1(z) той же степени, корни к-рого равны квадратам корней fr(z). Переход выполняется по рекуррентным формулам.

Применение Л. м. возможно и при наличии групп равных по абсолютной величине корней, хотя это приводит к осложнениям в логике и формулах метода. Достоинством метода является то, что не требуется знания начальных приближений к корням многочлена. В случае различных по абсолютной величине корней скорость сходимости процесса асимптотически квадратичная. '

Л. м. является, однако, численно неустойчивым, т. к. процесс квадрирования приводит к очень быстрому накоплению вычислительной погрешности. В связи с этим предпринимались попытки придать Л. м. самоисправляющуюся форму. Так, напр., для вычисления корней многочлена (1) строится последовательность многочленов gr(z) степени связанных соотношениями

отсюда

При каждом фиксированном kищутся многочлены определяемые следующим образом:

ДЛЯ

есть многочлен вида

имеющий степень

Если корни многочлена f(z)

удовлетворяют неравенствам

то

где f*(z) многочлен f(z),.нормированный делением на коэффициент при старшем члене. Таким образом, из исходного многочлена выделяются множители, соответствующие группам равных по абсолютной величине корней (см. [3]). Л. м. предложен Н. И. Лобачевским в 1834 (см. [1]).

Лит.:[1] Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 4, М.Л., 1948; [2] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [3] Sebastiao е S i l v a J., "Portug. Math.", 1941, №2. p. 271-79; [4] Householder A. S., S t e w a r t G. W., "SIAM Rev.", 1971, V. 13, p. 38 46. X. Д. Икрамов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985