Математическая энциклопедия - лобачевского пространство

пространство, геометрия к-рого определяется аксиомами Лобачевского геометрии. В более широком смысле Л. п. понимается как неевклидово гиперболич. пространство, определение к-рого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства. Пусть ⁿRn+1 псевдоевклидово (n+1) -пространство индекса n;на n-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек n-сферы пространства ⁿRn+1, наз. n-пространством Лобачевского н обозначается ¹Sn. Такое определение Л. п. позволяет вшпочить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств. Пространство ¹Sn в проективном пространстве Р п изображается внутренней областью овальной ( п-1)-квадрики, к-рая является пересечением n-сферы мнимого радиуса с бесконечно удаленной плоскостью пространства ⁿRn+1, дополняющей это пространство до проективного пространства Pn+1. Точки овальной ( п-1)-квадрики являются бесконечно удаленными точками пространства ¹Sn, т. е. квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство ¹Sn до полного пространства Р n наз. идеальной областью пространства ¹Sn. Указанная интерпретация наз. проективной интерпретацией К э л и Клейна. Она может быть получена также путем проектирования n-сферы мнимого радиуса пространства ⁿRn+1 из ее центра на касательную n-плоскость, к-рая является евклидовым n-пространством; при этом пространство ¹Sn изображается внутренней областью n-шара в этой n-плоскости, граница n-шара является абсолютом пространства ¹Sn (иногда последнюю интерпретацию пространства ¹Sn в евклидовом пространстве Rn наз. интерпретацией Бельтрами К л е й н а).

Проективная интерпретация 3-простран'ства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометрич. свойства 2-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского.

Присоединением к пространству ^lSn точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное Л. п. m-плоскость, m<n, пересекающаяся с абсолютом, наз. собственной m-плоскостью; не пересекающая абсолюта идеальной m-плоскостыо; m-плоскость, касающаяся абсолюта, изотропной m-плоскостью. Таким же образом классифицируются прямые пространства ¹Sn. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные (n- т-1)-плоскости собственных m-плоскостей Л. п. ¹Sa суть идеальные (n-т-1)-плоскости, и полярные (n- т-1)-плоскости идеальных m-плоскостей собственные (n- т-1)-плоскости.

В пространстве ¹Sn в качестве координат точки Xможно рассматривать координаты вектора жэтой точки в пространстве ⁿRn+1, принадлежащей n-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора x(Вейерштрасса координаты).при этом должны удовлетворять условию

Используются также координаты Бельтрами, .

причем В пространстве ¹Sn вводятся декартовы координаты u¹, u², . . ., uⁿ, связанные с координатами х ⁱ соотношениями

где радиус кривизны пространства ¹Sn. Расстояние между точками Xи Yопределяется соотношением

где х, у - определенные выше векторы точек Xи У, Е - линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов.

Угол между двумя плоскостями Л. п. ¹Sn совпадает с углом между re-плоскостями псевдоевклидова пространства ⁿRn+1, соответствующим этим плоскостям. Угол j между плоскостями связан с расстоянием между полюсами этих плоскостей соотношением

когда угол j действительный, а чисто мнимое, и

когда угол j чисто мнимый, а расстояние действительное.

Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта.