Математическая энциклопедия - маятника колебаний уравнение

обыкновенное дифференциальное уравнение вида

где аположительная константа. М. к. у. возникает при изучении свободных колебаний в поле тяжести математич. маятника материальной точки, имеющей одну степень свободы и находящейся на конце нерастяжимого и несжимаемого невесомого подвеса, другой конец к-рого закреплен на шарнире, допускающем вращение маятника в вертикальной плоскости. Неизвестная функция x(t)это угол отклонения маятника в момент tот нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;

где lдлина подвеса, gускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид:

Качественное изучение М. к. у. производится с помощью закона сохранения энергии, связывающего положение и скорость маятника:

где E=const полная энергия маятника. Масштаб времени можно выбрать так, чтобы было a=1. При этом значению полной энергии E<1 соответствует колебательное движение маятника (скорость периодически меняет знак), а значению E>1 соответствует вращательное движение (скорость сохраняет знак). Решение х(t)M. к. у. (*) с начальным условием приудовлетворяет соотношению где Якоби эллиптическая функцияsn имеет модуль

Большое прикладное значение имеют уравнения, близкие к М. к. у. Наличие малого трения, зависящего от положения и скорости маятника, приводит к уравнению

малые колебания маятника с трением описываются уравнением: частным случаем к-рого является Ван дер Поля уравнение. Колебание маятника при периодич. изменении длины подвеса (движение качелей) описывается Хилла уравнением, важный частный случай к-рого Матьё уравнение.

Лит.:[1] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1975; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1978; [3] Андронов А. А., Витт А. А., Xaйкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.

Ю. С. Ильяшенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985