Математическая энциклопедия - мергеляна теорема

теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного. Пусть Ккомпакт со связным дополнением на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, непрерывная на Ки голоморфная в его внутренних точках, равномерно на Кприближается многочленами от z.

Эта теорема была доказана С. Н. Мергеляном (см. [1], [2]); она завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применений в различных разделах комплексного анализа.

В случае, когда Кне имеет внутренних точек, это утверждение было доказано М. А. Лаврентьевым [3]; а для случая, когда Кзамкнутая область со связным дополнением, соответствующая теорема доказана М. В. Келдышем [4].

Из М. т. вытекает следующее утверждение. Пусть К - произвольный компакт на плоскости . Для того чтобы функция f, непрерывная на Ки голоморфная внутри К, равномерно приближалась многочленами от 2, необходимо и достаточно, чтобы f голоморфно продолжалась во все ограниченные связные компоненты множества .

Задача о приближении многочленами является частным случаем задачи о приближении рациональными функциями с полюсами вне К. С. Н. Мергелян доказал также несколько достаточных условий рациональной аппроксимации (см. [2]). Полное решение этой задачи (для компактов ) получено в терминах аналити ческих емкостей (см. [5]).

К М. т. примыкает большой цикл работ о полиномиальных, рациональных и голоморфных приближениях в пространстве многих комплексных переменных С". Здесь получены пока только частные результаты для специальных типов компактов.

Лит.:[1] Мергелян С. Н., "Докл. АН СССР", 1951. т. 78, № 3, с. 405-08; [2] его же, "Успехи матем. наук", 1952 т. 7, в. 2, с. 31 122; [3] Лаврентьев М. A., Sur les fonctions d'une variable complexe representables par des series de polynomes, P., 1936; [4] Келдыш М. В., "Матем. сб.", 1945, т. 16, №3, с. 249-57; [5] Витушкин А. Г., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99; [6] Некоторые вопросы теории приближений, пер. с англ., М., 1963; [7] Гамелин Т. В., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973. Е. М. Чирка.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985