Математическая энциклопедия - мероморфная функция

одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности W) голоморфная функция в области к-рая в каждой особой точке имеет полюс (т. е. -изолированная точка множества не имеющего предельных точек в W, и ). Совокупность M(W) всех М. ф. в W являетсяполем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Отношение любых голоморфных в W функций, , является М. ф. в W. Обратно, всякая М. ф. в области (и на некомпактной римановой поверхности W) представляется в виде где голоморфны и не имеют общих нулей в W. Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле совпадает с полем отношений кольца голоморфных функций в W. Всякая М. ф. определяет непрерывное отображение области в сферу Римана к-рое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры

Обратно, всякое голоморфное отображение определяет М. ф. f в : множество полюсов f совпадает с дискретным множеством и , если . Таким образом, М. ф. одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

Основные задачи теории М. ф.это вопросы существования (и построения) М. ф. с данными особенностями.

I. Задано замкнутое дискретное подмножество и в каждой точке -главная часть разложения Лорана

требуется найти М. ф.с этими главными частями, т. е. такую, что f голоморфна в и голоморфна в окрестности av для каждого V.

Если число точек av конечно, то (в области ) задача решается тривиально функцией . В общем случае эту задачу решает теорема Миттаг-Леффлера: на всякой некомпактной римановой поверхности существует М. ф. с заданными главными частями На компактной римановой поверхности (напр., на торе) эта задача в общем неразрешима нужны дополнительные условия согласования главных частей.

Вторую основную задачу удобно формулировать в терминах дивизоров, т. е. отображений таких, что для всякого компакта число точек , в к-рых конечно (число D(z) наз. кратностью Dв точке z). Дивизор наглядно можно записать в виде формальной суммы , где -точки, в к-рых в случае конечного числа слагаемых число наз. степенью дивизора D. Для М. ф. f ее дивизор (f) равен 0 во всех точках, кроме нулей и полюсов f, где его кратность полагается равной соответственно порядку нуля или полюса (порядки полюсов отрицательны).

II. В точках замкнутого дискретного подмножества заданы "кратности" целые числа . Требуется найти М. ф. с нулями и полюсами данных кратностей, т. е. такую, что f голоморфна в голоморфна и не равна нулю в окрестности В случае конечного числа точек такой будет, напр., . В общем случае задачу решает теорема Вейерштрасса: на некомпактной римановой поверхности для любого заданного дивизора Dсуществует М. ф. f, дивизор к-рой (f) совпадает с D. Для компактной римановой поверхности голоморфное отображение в сферу Римана, определяемое непостоянной М. ф. f, является разветвленным накрытием, и поэтому каждое значение функция f принимает одинаково часто, в частности число нулей f равно числу ее полюсов (с учетом кратностей). Таким образом, условие необходимо для разрешимости задачи II на компактной римановой поверхности. В общем оно не достаточно; необходимое и достаточное условие существования М. ф. с данным дивизором дает теорема Абеля (см. [2]).

Функции , удовлетворяющие условию для данного дивизора Dна компактной римановой поверхности , образуют конечномерное линейное пространство (над полем ); если , то .

Теорема Римана Роха утверждает, что

где К - т. н. канонич. дивизор и g-род римановой поверхности . Из этого соотношения получаются многие теоремы существования (если то и, значит, в имеются непостоянные М. ф.). Напр., на всякой компактной римановой поверхности рода существует М. ф., осуществляющая не более чем -листное разветвленное накрытие

Большое место в теории М. ф. одного комплексного переменного занимает распределения значений теория (теория Неванлинны), изучающая распределение корней уравнений при подходе к границе области.

Мероморфная функция нескольких комплексных переменных. Пусть область в (или комплексное n -мерное многообразие) и (комплексное) аналитич. подмножество коразмерности 1 (или пустое). Голоморфная функция f, определенная в , наз. мероморфной функцией в , если для каждой точки найдется сколь угодно малая окрестность в и голоморфные в Uфункции без общих необратимых в O(U). множителей такие, что в . Множество наз. полярным мно жеством М. ф. f. Его подмножество , к-рое локально определяется условием наз. множеством (точек) неопределенности М. ф. f; это аналитич. одмножество (комплексной) коразмерности . В каждой точке функция не определена по существу: предельные значения при заполняют всю сферу Римана . С другой стороны, в точках множества существует , и после доопределения для получается голоморфное отображение в сферу Римана. Обратно, если произвольное комплексное аналитич. одмножество W. коразмерности (возможно, пустое), то любое голоморфное отображение определяет М. ф. в , равную в , где оказывается аналитич. одмножеством коразмерности 1 или пустым. Таким образом, М. ф. f в это голоморфное отображение в сферу Римана, определенное вне аналитич. одмножества коразмерности Третье, полностью локализованное, определение М. ф. (эквивалентное приведенным выше) формулируется в терминах пучков. Пусть Опучок ростков голоморфных функций на и для каждой точки есть поле отношений кольца (слоя пучка Онад точкой z). Тогда естественно наделяется структурой пучка полей, к-рый наз. пучком ростков М. ф. в W. М. ф. в W. определяется как глобальное сечение М, т. е. непрерывное отображение такое, что для всех . Множества определяются так: если где , то можно считать, что и взаимно просты, т. е. не имеют общих необратимых в множителей; тогда , если , и , если

Значение так определенной М. ф.в точке , по определению, равно .