Математическая энциклопедия - неразветвленный идеал

простой идеал поля алгебраич. чисел К, лежащий над таким простым числом р, что главный идеал (р) имеет в поле Кразложение в произведение простых идеалов вида

причем . Точнее этот идеал наз. абсолютно неразветвленным. В общем случае, пусть Адедекиндово кольцо с полем частных к, К конечное расширение поля k и Вцелое замыкание Ав К. Простой идеал кольца В, лежащий над идеалом кольца А, наз. неразветвленным в расширении K/k, если

где попарно различные простые идеалы кольца В, и e1=1. Если все идеалы не разветвлены, то иногда говорят, что идеал остается неразветвленным в Klk. Для расширения Галуа Klk неразветвленность идеала кольца Вэквивалентна тому, что подгруппа разложения в группе Галуа G(K/k )совпадает с группой Галуа расширения полей вычетов . В любых конечных расширениях полей алгебраич. чисел все идеалы, кроме конечного числа, не разветвлены.

Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985