Математическая энциклопедия - ограниченной вариации функция

функция, имеющая ограниченную вариацию (см. Вариация функции). Для функций одного действительного переменного понятие О. в. ф. введено К. Жорданом [1] в связи с обобщением Дирихле теоремы о сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций (см. Жордана признак сходимости ряда Фурье). Функция f(x), заданная на отрезке , является О. в. ф. тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде возрастающие (убывающие) на [ а, b]функции (см. Жордана разложение О. в. ф.). Всякая О. в. ф. ограничена и может иметь не более чем счетное множество точек разрыва, причем все 1-го рода. О. в. ф. может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции (см. Абсолютная непрерывность), сингулярной функции и скачков функции (см. Лебега разложение О. в. ф.).

В случае нескольких переменных понятие О. в. ф. не является однозначным, т. к. в этом случае существует несколько определений вариации функции (см. Арцела вариация. Витали вариация, Пъерпонта вариация, Тонелли плоская вариация, Фреше вариация, Харди вариация).

Лит.:[1] Jordan С, "С. г. Acad. sci.", 1881, t. 92, p. 228-30; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

Б. И. Голубое.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985