Математическая энциклопедия - ограниченного вида функция

в области Dкомплексной плоскости мероморфная функцияв облавти D, представимая в Dв виде отношения двух ограниченных аналитич. ций:

Наиболее изучен класс О. в. ф. в единичном круге . Для того чтобы мероморфная в D функция , необходимо и достаточно, чтобы

ее характеристика Т(r; f) была ограниченной (теорема Неванлинны):

Здесь сумма в правой части составлена по всем полюсам функции f(z) таким, что причем каждый полюс берется столько раз, каков его порядок; порядок полюса в начале координат. Поэтому О. в. ф. класса наз. также функциями с ограниченной характеристикой.

Представляет интерес также следующее достаточное условие: если мероморфная функция в не принимает множества значений Еположительной емкости,cap Функции f (z) класса обладают следующими свойствами: 1) почти всюду на единичной окружности функция имеет угловые граничные значения , причем

2) если на множестве точек Г положительной меры, то ; 3) функции характеризуются интегральным представлением вида

где целое число такое, что действительное число;

Бляшке произведения, составленные по всем нулям и полюсам функции внутри с учетом их кратности; сингулярная функция ограниченной вариации на с производной, равной нулю почти всюду.

Важное значение имеет также подкласс класса , состоящий из всех голоморфных О. в. ф. f(z)в . Для того чтобы голоморфная функция необходимо и достаточно, чтобы выполнялось вытекающее из (2) условие

Для функций в характеристич. представлении (3)

Условие (4) равносильно требованию, чтобы суб-гармонич. функция имела гармонич. мажоранту во всем круге . В такой форме это условие употребляется обычно для определения класса голоморфных функций в произвольных областях

тогда и только тогда, когда имеет гармонич. мажоранту во всей области D.