Математическая энциклопедия - ограниченный оператор

отображение А топологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что (М)ограниченное подмножество в Yдля любого ограниченного подмножества Мпространства X. Всякий оператор непрерывный на X, является О. о. Если линейный оператор, то для ограниченности Адостаточно, чтобы существовала окрестность нуля такая, что A(U)ограничено в Y. Пусть X,Y векторные нормированные пространства и линейный оператор ограничен. Тогда

Это число наз. нормой оператора Аиобозначается . При этом

и есть наименьшая из констант Стаких, что

для любого . Обратно, выполнение этого неравенства означает, что Аограничен. Для линейных операторов, отображающих нормированное пространство Xв нормированное пространство У, понятия ограниченности и непрерывности эквивалентны. Для случая произвольных топологических векторных пространств Xи Y это не так, но если X - борнологическое, Yлокально выпуклое пространство, то из ограниченности линейного оператора следует его непрерывность. Если Нгильбертово пространство и ограниченный симметрич. оператор, то квадратичная форма <Ах, x> ограничена на единичном шаре . Числа

наз. верхней и нижней границами оператора А. Точки и принадлежат спектру A, и весь спектр лежит на отрезке . Примеры О. о.: оператор проектирования (проектор )на дополняемое подпространство банахова пространства и изометрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве.

Если пространства Xи Yнаделены структурой частично упорядоченного множества, напр, являются векторными решетками, то помимо рассмотренной выше топологич. ограниченности вводится понятие порядковой ограниченности оператора. Именно, оператор паз. порядково ограниченным, если (М)есть порядково ограниченное множество пространства Yдля любого порядково ограниченного множества Мпространства X. Пример: изотонный оператор, т. е. такой оператор, что из следует

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965: [2] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952.

В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985