Математическая энциклопедия - орнштейна - уленбека процесс

гауссовский стационарный случайный процесс V(t).с нулевым математич. ожиданием и экспоненциально затухающей корреляционной функцией вида

О. У. п. может быть также определен как стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланжевена) вида

где W(t) винеровский процесс (так что =W'(t) - обобщенный случайный процесс белого шума), a m и b положительные постоянные, причем b/m=a.

Уравнение (*) приближенно описывает одномерное броуновское движение свободной частицы; при этом V(t).интерпретируется как скорость частицы, тее масса, bV (t) - пропорциональная скорости сила "вязкого трения" (для сферич. частицы радиуса акоэффициент b равен 6pha, где h) коэффициент вязкости, в силу гидродинамич. формулы Стокса), а белый шум W'(t) - это "случайная сила", порожденная хаотич. толчками молекул среды, находящихся в тепловом движении, и являющаяся основной причиной броуновского движения. В первоначальной теории броуновского движения, развитой А. Эйнштейном (A. Einstein) и М. Смолуховским (М. Smoluchowski) в 1905-06, пренебрегалось инерцией частицы, т. е. считалось, что m=0; при этом уравнение приводило к выводу, что координата броуновской частицы

равна b^-1W(t), т . е. представляет собой винеровский процесс. Таким образом, винеровский процесс описывает модель Эйнштейна Смолуховского броуновского движения (отсюда другое его название процесс броуновского движения); т. к. этот процесс недифференцируем, то в теории Эйнштейна Смолуховского частица, совершающая броуновское движение, не имеет конечной скорости. Уточненная теория броуновского движения, опирающаяся на уравнение.

, где , была предложена Л. Орнштейном и Дж. Уленбеком ([1]; см. также [2]); позже та же теория была выдвинута С. Н. Бернштейном [3] и А. Н. Колмогоровым [4]. В теории Орнштейна Уленбека скорость V(t).броуновской частицы является конечной, но ее ускорение бесконечно (так как О.У. п. недифференцируем); для того чтобы и ускорение оказалось конечным, надо уточнить теорию, учтя отличие случайной силы от идеализированного белого шума W'(t).

Уравнение можно использовать и для описания одномерного броуновского движения гармонич. осциллятора, если пренебречь его массой и считать, что

V(t) - это координата осциллятора, сила вязкого трения, -bV регулярная упругая сила, удерживающая осциллятор, a W'(t).случайная сила, создаваемая молекулярными толчками. Таким образом, О.У. п. доставляет также модель пульсаций координаты гармонич. осциллятора, совершающего броуновское движение, родственную модели Эйнштейна Смолуховского броуновского движения свободной частицы.

О.У. п. является однородным по времени марковским процессом диффузионного типа (см. Диффузионный процесс);наоборот, процесс V(t), являющийся одновременно стационарным случайным процессом, гауссовским процессом и марковским процессом, обязательно представляет собой О.У. п. Как марковский процесс О.У. п. удобно характеризовать его переходной плотностью вероятности р(t, x, у), представляющей собой фундаментальное решение соответствующего уравнения Фоккера Планка (т. е. прямого Колмогорова уравнения).вида

и, следовательно, задаваемой формулой

Многие свойства О.У. п. V(t).(включая и его марковость) можно вывести из известных свойств винеровского процесса, воспользовавшись тем, что процесс

является стандартным винеровским процессом (см. [5]). В частности, отсюда следует, что реализации О.У. п. непрерывны и нигде не дифференцируемы с вероятностью 1 и что

с вероятностью 1.

Лит.:[1] Uhlenbесk G. Е., Оrnstein L. S., "Phys. Rev.", 1930, v. 36, p. 823-41; [2] Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; [3] Бернштейн С. Н., "Докл. АН СССР", 1934, т. 1, № 1,с. 1-9; № 7, с. 361-65; [4] Ко1mоgоrоv A. N.,"Ann. Math.", 1934, v. 35, p. 116 17; [5] Doob J. L., "Ann. Math.", 1942, v. 43, p. 351 69. А. M. Яглом.

OPPA ЗОММЕРФЕЛЬДА УРАВНЕНИЕ линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

где Rчисло Рейнольдса, w(y).заданная функция (профиль скорости невозмущенного потока), к-рая обычно предполагается голоморфной в окрестности отрезка [-1, 1] в комплексной плоскости y, a>0 постоянная и с спектральный параметр. Для О.3. у. исследуется краевая задача