Математическая энциклопедия - пеано аксиомы

система из пяти аксиом для натурального ряда Nи функции S(прибавление 1) на нем, введенная Дж. Пеано (G. Реапо, 1889):

для любого свойства M (аксиома индукции).

В первом варианте вместо 0 использовалась 1. Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд (R. Dedekind, 1888). П. а. категоричны, т. е. любые две системы (N, S,0) и (N', S',0'), удовлетворяющие П. а., изоморфны. Изоморфизм определяется функцией f(x, x), где

Существование f( х, у).для всех пар ( х, у).и взаимная однозначность при доказываются по индукции. П. а. позволяют развить теорию чисел, в частности ввести обычные арифметич. функции и доказать их свойства. Все аксиомы независимы, однако (3) и (4) можно объединить в одну:

если определить х<у как

Независимость доказывается предъявлением модели, в к-рой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой. Для (1) такая модель натуральный ряд, начиная с единицы; для (2) множество , где S0=1/2, S (1/2)=1: для (3) множество {0}; для (4) множество {0, 1} с S0=S1=1; для (5) множество {-1}

Иногда под арифметикой Пеано понимают систему в языке 1-го порядка с функциональными символами состоящую из аксиом

определяющих равенств для и схемы индукции

(см. Арифметика формальная).

Лит.:[l] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М. 1957. Г. Б. Минц.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985