Математическая энциклопедия - площадей принцип

: площадь дополнения к образу области при ее отображении регулярной в ней функцией неотрицательна. Впервые П. п. использовал в 1914 Т. Гронуолл [1], к-рый доказал этим путем т. н. внешнюю теорему площадей для функций класса 2 функций

регулярных и однолистных в области D'= {z:l<|z|<} (см. Однолистная функция). Площадь s(CF(D')).дополнения для образа F(D') области D' при отображении определяется формулой

и, следовательно,

(1)

С помощью неравенства (1) получены первые результаты для функций классов S и S, где S - класс функций , регулярных и однолистных в круге D={z : |z|<1 } (см. Бибербаха гипотеза, Искажения теоремы). Доказана [2] более общая теорема площадей. Г. М. Голузин [3] распространил теорему площадей на р-листные функции в круге (см. Многолистная функция).

Доказана следующая теорема площадей [4]: пусть регулярная на функция,

тогда

(2)

и знак равенства имеет место только в том случае, если площадь множества равна нулю.

Под теоремой площадей в нек-ром классе однолистных функций область (или в классе систем однолистных функций , n=1, 2, . . ., Bkобласти), понимают обычно всякое неравенство, обладающее тем свойством, что знак равенства в нем имеет место в том и только в том случае, если площадь дополнения для f(B).(соответственно дополнения для ) равна нулю. Обычно такая теорема доказывается с помощью П. п. Именно, рассматривается произвольная регулярная функция Q(w).(или, более общо, имеющая регулярную производную) на и вычисляется площадь образа при отображении функцией Q. Таким образом, неравенство (2) есть нек-рая весьма общая теорема площадей в классе S.

Пусть и

Выбирая надлежащим образом функцию Q, регулярную на CF(D'), неравенство (2) можно записать в виде

(3)

где x р - произвольные числа, не равные одновременно нулю и такие, что

Получены и более общие теоремы площадей в классе S (см. [5]).

Теоремы площадей доказаны: для класса (а 1 ,..., а п).систем функций fk, конформно и однолистно отображающих круг D на области, попарно не имеющие общих точек,неналегающие области (см. [6]); в классе S(В).(S(В), , класс функций F, регулярных и однолистных в и таких, что

,

см. [7]); для неналегающих многосвязных областей (см. [6], а также [8], [9]). Все теоремы площадей для многосвязных областей доказываются контурного интегрирования методом.

Под методом площадей понимают способы решения различных задач теории однолистных функций, использующие теоремы площадей.

Напр., из (3) с помощью неравенства Коши можно получить:

где x р и x'q такие, что ряды, стоящие в правой части, сходятся. Если в неравенстве (4), напр., , , то получают теорему искажения хорд:

Теоремы площадей, напр, в классе , дают необходимые и достаточные условия принадлежности системы мероморфных функций fk классу (см. [6] с. 179). Лит.:[1] Grоnwа11 Т. Н., "Ann. Math. Scr. 2", 1914/ 1915, v. 16, p. 72-76; [2] Prawitz H., "Arkiv mat., astron., fysik", 1927, Bd 20A, № 6, S. 1 12; [3] Голузин Г. М., "Матем. сб.", 1940, т. 8, № 2, с. 277-84; [4] Лебедев Н. А., Милин И. М., там же, 1951, т. 28, № 2, с. 359-400; [5] Nеhаri Z., "Arch. Ration. Mech. and Anal.", 1969, v. 34, № 4, p. 301 30; [6] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975; [7] Милин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы, М., 1971; [8] Аленицын Ю. Е., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1973, т. 37, № 5, с. 1132-54; [9] Гутлянский В. Я., Щепетов В. А., "Докл. АН СССР", 1974, т. 218, № 3, с. 509-12; [10] Grunskу Н., "Math. Z.", 1939, Bd 45, Н. 1, S. 29-61. Н. А. Лебедев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985