Математическая энциклопедия - плотность вероятности

плотность распределения вероятностей,производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере. Пусть X - случайный вектор, принимающий значения в re-мерном евклидовом пространстве , Р( х г, . . ., х п).его функция распределения и пусть существует неотрицательная функция f(xlt . . ., х п). такая, что

для любых действительных ij, . . ., х п. Тогда/(ij, . . ., х п).наз. плотностью вероятности случайного вектора Xи для любого борелевского множества

Любая неотрицательная интегрируемая функция i(x:, . . ., х п), удовлетворяющая условию

является П. в. нек-рого случайного вектора.

Если случайные векторы Xи У, принимающие значения в , независимы и имеют П. в. }( х г, . . ., хД).и g(xl,. . ., х п).соответственно, то случайный вектор X--Y имеет П. в. h(x1, . . ., xrt), к-рая является рверт-кой функций fug:

Пусть Х=(X1, . . ., Х п).и Y=(Y1, . . ., Y т) случайные векторы, принимающие значения в и и имеющие П. в. f(x1, . .., х п).и g(y1 ,. . ., у т).соответственно, и пусть Z=( Х 1, . . ., Х n, Y1,. . ., Ym) - случайный вектор в R^n+m. Тогда если Xи У независимы, то Z имеет П. в. h(t1, . .., tn+m), наз. совместной плотностью распределения вероятностей случайных векторов Xи Y, причем

(1)

И обратно, если Zимеет П. в., удовлетворяющую соотношению (1), то Xи Y независимы.

Характеристич. функция j(t1, . . ., tn) случайного вектора X, имеющего П. в. f(x1,. . ., х т), выражается формулой

причем если j(t1, . . ., tn).абсолютно интегрируема, то f(x1, . . ., х п).является ограниченной непрерывной функцией и

П. в. f(x1, . . ., х п).и соответствующая характеристич. функция j(t1, . . ., tn).связаны также следующим соотношением (тождество Планшeреля): функция f²(x1,. . ., х п).интегрируема тогда и только

тогда, когда интегрируема функция |j(t1, . . ., tn)|², и в этом случае

Пусть , измеримое пространство, v и m суть s-конечные меры на , причем v абсолютно непрерывна относительно m, т. е. из равенства m(A)=0 следует равенство . В этом случае на существует неотрицательная измеримая функция f такая, что

для любого . Функция f наз. производной Радона Никодима меры v по мере m, а в случае, когда v вероятностная мера, также П. в. v по отношению к m.

Спонятием П. в. тесно связано понятие доминирова иного семейства распределений. Семейство вероятностных распределений на измеримом пространстве наз. доминированным, если на существует s-конечная мера mтакая, что каждая вероятностная мера из имеет П. в. по отношению к m (или, что то же самое, каждая мера из абсолютно непрерывна относительно m). Предположение о доминированности является существенным в нек-рых теоремах математич. статистики.

Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2-изд., М., 1973; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и се приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967; [3] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. Н. Г. Ушаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985