Математическая энциклопедия - плотность последовательности

понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения последовательностей общего вида. П. п. является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности целых чисел a0=0<1 а 1< а 2<...<. Под понятием П. п. имеется в виду плотность d(A).(введенная в 1930 Л. Г. Шнирельманом) последовательности А, а именно:

где

Плотность d(A)=l тогда и только тогда, когда Асовпадает с множеством N0 всех целых неотрицательных чисел. Пусть А+В - арифметич, сумма последовательностей А={ а k} и В= {bi}, т. е. множество А+В={ak+bi}, где числа ak+bi берутся без повторений. При А=В полагают 2А А-{-А, аналогично ЗА=А+А+А и т. д. Если hA=N0, то Аназ. базисом h- гопорядка. При исследовании структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей, заданных лишь их плотностями, используются теоремы о плотности суммы двух последовательностей:

неравенство Шнирельмана,

неравенство Манна Дайсона.

Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в к-рых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Напр., с помощью методов решета доказывается, что последовательность {р}+{p}, где рпробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число с 0>0) что любое натуральное число есть сумма не более с 0 простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха (см. также Аддитивная теория чисел).

Разновидностью понятия П. п. является понятие асимптотический плотности, частным случаем к-рой будет натуральная плотность. Понятие П. п. обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, напр. на последовательности целых чисел в полях алгебраич. чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраич. полях.

Лит.:[1] Гельфонд А. О., Линник Ю. В., Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962; [2] Оstmann H.-H., Additive Zahlentheorie, Bd 1-2, В., 1956.

Б. М. Бредихин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985