Математическая энциклопедия - плотности матрица

состояния r, определенного на алгебре ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ,положительный ядерный оператор. такой, что

(1)

причем . Обратно, всякое состояние r, т. е. линейный положительный () нормированный (r(E)=1) функционал на , представимо в виде (1), т. е. имеет П. м. р и притом единственную.

Впервые понятие П. м. появилось в статистич. физике при определении квантового состояния Гиббса. Пусть квантовая система, занимающая конечную область Vпространства , описывается векторами нек-рого гильбертова пространства и гамильтонианом. и обладает, быть может, нек-рым набором коммутирующих друг с другом "первых интегралов" ,...,, k=1, 2, ... . Состоянием Гиббса такой системы наз. состояние на , задаваемое П. м.:

(2)

где Z - нормирующий множитель, а b>0, ml,...,mk действительные параметры.

Наряду с П. м. (2) состояние системы в квантовой статистич. физике можно задавать с помощью т. н. приведенной матрицы плотности. В наиболее простом случае системы одинаковых частиц (бозонов или фермионов), описываемых векторами Фока пространства , приведенная П. м. состояния r представляет собой набор функций (вообще говоря, обобщенных)

(3) где

а ', рождения операторы и уничтожения операторы соответственно, действующие в . В случаях, когда в алгебре вместо операторов рождения и уничтожения выбрана какая-нибудь другая система образующих нек-рое множество индексов), приведенная П. м. состояния определяется аналогично (3) как совокупность значений состояния r на всевозможных мономах вида

Приведенная П. м. оказывается особенно удобной при определении предельного гиббсовского состояния на С*-алгебре так наз. квазилокальных наблюдаемых: (черта означает замыкание в равномерной топологии).

Лит.:[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., М., 1976 (Теоретическая физика, т. 5); [2] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1971. Р. А. Минлос.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985