Математическая энциклопедия - рао - блэкуэлла - колмогорова теорема

утверждение из теории статистич. оценивания, на основе к-рого построен метод улучшения несмещенных статистич. оценок.

Пусть X - случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве , , причем семейство вероятностных распределений , обладает достаточной статистикой Т=Т (Х), и пусть j = j(Х) нек-рая векторная статистика с конечной матрицей вторых моментов. В этом случае математич. ожидание статистики j существует и, кроме того, условное математич. ожидание является несмещенной оценкой для , то есть

В этих условиях Р.Б.К. т. утверждает, что квадратичный риск статистики j* не превосходит квадpaтичного риска статистики j равномерно по всем т. е. для любого вектора z, имеющего ту же размерность, что и статистика j, выполняется неравенство

для всех . В частности, когда j является одномерной статистикой, то при любом дисперсия статистики j* не превосходит дисперсии статистики j

В самом общем случае Р.Б.К. т. утверждает, что операция осреднения по достаточной статистике не приводит к увеличению риска относительно произвольной выпуклой функции потерь, откуда следует, что хорошие статистич. оценки нужно искать только в терминах достаточных статистик, т. е. в классе необходимых статистик.

В случае, когда семейство является полным, т. е. когда единственной несмещенной оценкой нуля является функция, почти всюду равная нулю, несмещенная оценка с равномерно минимальным риском, получаемая с помощью Р.Б.К. т., является единственной. Таким образом, Р.Б.К. т. дает рецепт построения наилучших несмещенных оценок: нужно взять любую несмещенную оценку, а затем осреднить ее по достаточной статистике. Именно таким образом в следующем примере, принадлежащем А. Н. Колмогорову, строится наилучшая несмещенная оценка функции распределения нормального закона.

П р и м е р. Пусть по реализации случайного вектора Х= (Х 1, ... , Х n), компоненты к-рого Xi, i=l, 2, ... , п,, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону , следует оценить функцию распределения

Предполагается, что параметры и неизвестны. Так как семейство

нормальных законов является полным и существует достаточная статистика , где

и

то для построения наилучшей несмещенной оценки функции распределения следует воспользоваться Р.Б.К. т. В качестве исходной статистики j можно взять, напр., функцию эмпирич. распределения, построенную по какой-то одной компоненте вектора X, напр. Х 1 то есть

к-рая является тривиальной несмещенной оценкой для , так как

Осреднение оценки j по достаточной статистике Тприводит к оценке

(1) В силу того что статистика

являющаяся дополнительной к достаточной статистике Т. имеет равномерное распределение на (n-2)-мерной сфере радиуса n и, следовательно, не зависит ни от неизвестных параметров и , ни от достаточной стати-

стики Т, то тоже не зависит от и Т, причем

(2) где

(3)

функция распределения Томпсона с f степенями свободы. Таким образом, из (1)-(3) следует, что наилучшей несмещенной оценкой для , построенной по пнезависимым наблюдениям Х 1, ... , Х n, является

где функция распределения Стьюдента с f степенями свободы.

Лит.:[1] К о л м о г о р о в А. Н., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1950, т. 14, № 4, с. 303-26;.[2] Ра о С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968; 1.3] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; [4] В 1 а с k w е 1 1 D., "Ann. Math. Statistics", 1947, v. 18, p. 105 10. М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985