Математическая энциклопедия - рауса теорема

теорема, позволяющая для многочлена f(х)с действительными коэффициентами (в регулярном случае) определить с помощью схемы Рауса число комплексных корней этого многочлена с положительной действительной частью.

Пусть многочлен f (х)для удобства записан в виде

С х е м о й Р а у с а этого многочлена наз. система чисел

В этой схеме первые две строки составлены из коэффициентов многочлена f(x), а каждая строка, начиная с третьей, получается из двух предыдущих следующим образом: из первой строки вычитается вторая, умноженная на такое число, чтобы первый элемент обратился в нуль. Выбрасывая этот первый нуль, получают искомую строку. Напр., в третьей строке

В первой строке схемы Рауса число элементов равно целой части числа , во второй целой части числа , в k- йстроке при k>2 число элементов на 1 меньше, чем в (k-2)-й строке. Вся схема содержит n+1 строку. Р е г у л я р н ы м наз. тот случай, когда в схеме Рауса многочлена все числа первого столбца отличны от нуля.

Теорема Рауса. Для многочлена с действительными коэффициентами в регулярном случае число корней, лежащих в правой полуплоскости (т. е имеющих положительные действительные части), равно числу перемен знака в ряду чисел первого столбца схемы Рауса. В регулярном случае многочлен не может иметь корней, лежащих на мнимой оси. К р и т е р и й Р а у с а: для того чтобы все корни многочлена f(x) с действительными коэффициентами имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все числа первого столбца схемы Рауса были отличны от нуля и имели одинаковые знаки. Эти теоремы были установлены Э. Раусом [1]. Метод Рауса применяется для определения числа корней многочлена в правой полуплоскости и в нек-рых нерегулярных случаях.

Построение схемы Рауса возможно лишь для многочленов с заданными числовыми коэффициентами. Более широко применим метод, в к-ром роль схемы Рауса играет матрица Гурвица, а роль первого столбца схемы Рауса последовательность главных миноров Di, (см. Рауса Гурвица критерий). При этом аналогом Р. т. будет т е о р е м а Р а у с а Г у р в и ц а: если все миноры Di,отличны от нуля, то число корней многочлена f (х), лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знака в ряду чисел

и f (х)не имеет корней, лежащих на мнимой оси. Этот метод применим при нек-рых дополнительных условиях к случаю, когда отдельные из миноров Di равны нулю. Лит.:[1] R о u I h Е. J., Treatise on the stability of a given state of motion..., L., 1877; [2] е г о ж е, The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, 6 ed., L., 1905; [3] Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.Л., 1950; [4] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. И. В. Проскуряков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985