Математическая энциклопедия - резольвента

1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п - алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f(x)=0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших п. Иногда Р. называют само рациональное выражение

Пусть f(x) - сепарабельный многочлен над полем kс группой Галуа Gи H - нормальный делитель группы G. Пусть рациональное выражение от x1, . .., х п, остающееся инвариантным при всех подстановках корней х 1, . . ., х п из группы Н, и Тогда уявляется корнем нек-рого уравнения g(y) =0с коэффициентами из k, группа Галуа к-рого является собственной факторгруппой группы G. Таким образом, решение уравнения f(x)=0 сводится к решению уравнения g(y)=0 и решению уравнения f(x)=0 над полем k(y1, ..., ys).

Напр., для решения уравнения 4-й степени

(любое уравнение 4-й степени приводится к такому виду) используют кубич. Р.

корни к-рой y1, y2, y3 связаны с корнями х 1, x2, х 3, x4 соотношениями.. Корни y1, y2, y3 определяются с помощью формулы Кардано, что позволяет определить и корни х 1, х2, x3, x,4.

Последовательное применение метода Р. позволяет свести решение любого уравнения с разрешимой группой Галуа к решению цепочки уравнений с циклич. группой Галуа. Для решения последних используются резольвенты Лагранжа.

Пусть f(х)=0 уравнение над полем kс циклич. группой Галуа G порядка пи пусть kсодержит первообразный корень из единицы степени п. Для элемента a, принадлежащего нолю разложения многочлена f(x), и характера c группы G в группу корней из единицы степени n р е з о л ь в е н т а Лагранжа r (c, a) определяется формулой

(*)

Пусть a=x1один из корней многочлена f(х)и c пробегает все характеры группы G. Тогда система линейных уравнений (*) позволяет определить корни x1, x2,. . ., х п, если известны резольвенты Лагранжа для всех характеров c группы G. Для выполняется соотношение

к-рое показывает, что элементы при любом целом iинвариантны относительно G и, следовательно, являются однозначно определенными рациональными выражениями от коэффициентов многочлена f (х)и корня . Если c порождает группу характеров группы G, то имеют место равенства и для

Р е з о л ь в е н т о й Г а л у а уравнения f(x)=0наз. такое неприводимое над данным полем алгебраич. уравнение у(х)=0(см. Галуа теория), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f(x)= 0.

Лит.:[1] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979. Л. В. Кузьмин.

2) В теории интегральных уравнений под Р. (разрешающим ядром) уравнения

(**)

понимают функцию Г (s, t;l) переменных s, tи параметра l, при помощи к-рой решение уравнения (**) представляют в виде

если l, не есть собственное значение уравнения (**), напр. для ядра K(s, t)=s+t резольвентой является функция

БСЭ-3.

3) Р.