Математическая энциклопедия - седло-узел

тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

(*)

, G - область единственности, в окрестности особой точки x0. Этот тип характеризуется следующим образом: нек-рая окрестность Uточки х 0 разбивается примыкающими к х 0 полутраекториями (сепаратрисами С.-у.) на ткриволинейных секторов , из к-рых , являются седловыми, а остальные открытыми узловыми; каждая примыкающая к x0 полутраектория, будучи дополнена точкой х 0, касается в ней определенного луча. С.-у. наз. при этом и сама точка х 0.

С.-у. неустойчив по Ляпунову. Его индекс Пуанкаре равен 1-(h/2). Если , а матрица , то особая точка x0 может быть для системы (*) С.-у. лишь в случаях, когда собственные значения l1, l2 матрицы Аудовлетворяют одному из следующих условий:

В любом из этих случаев точка х 0. может быть для системы (*) также седлом или узлом,а в случае б) и точкой иного типа. Если же она является С.-у., то для (нее m=3, h=2, а все примыкающие к х 0 полутраектории системы касаются в этой точке направлений, определяемых собственными векторами матрицы А(см. рис. 1 и 2, где жирными линиями изображены сепаратрисы С.-у. x0=0, а стрелки указывают направление движения по траекториям системы с возрастанием t;оно может быть и противоположным).

Лит.:[1] Б а у т и н Н. Н., Л е о н т о в и ч Е. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М., 1976. А. Ф. Андреев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985