Математическая энциклопедия - седловая поверхность

обобщение поверхности отрицательной кривизны. Пусть М - поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, определяемая погружением двумерного многообразия Wв Е ³. Плоскость a отсекает от Мгорбушку, если среди компонент прообраза множества в Wимеется компонента с компактным замыканием. Часть поверхности М, соответствующая этой компоненте, наз. горбушкой (см. рис.). Поверхность Мназ.

С. п., если от нее нельзя отсечь горбушки никакой плоскостью. Примерами С. п. являются однополостный гиперболоид, гиперболич. параболоид, линейчатые поверхности. Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая поверхность была С. п., необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке поверхности ее гауссова кривизна была неположительна. Поверхность, все точки к-рой седловые точки, является С. п.

С. п., ограниченная спрямляемом контуром, по своей внутренней метрике, индуцированной метрикой пространства, является двумерным многообразием неположительной кривизны. На класс С. п. можно обобщить ряд свойств поверхностей отрицательной кривизны, однако эти поверхности не образуют, по-видимому, столь же естественного класса поверхностей, как выпуклые поверхности.

Лит.:[1] Б а к е л ь м а н И. Я., В е р н е р А. Л., К а н т о р Б. Е., Введение в дифференциальную геометрию "в целом", М., 1973; [2] Ш е ф е л ь С. З., Исследования по геометрии седловых поверхностей, Новосиб., 1963.

Д. Д. Соколов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985