Математическая энциклопедия - шварца функция

функция Римана Шварца, аналитич. ция, реализующая конформное отображение треугольника, ограниченного дугами окружностей, на верхнюю полуплоскость (или на единичный круг) и при неограниченном аналитич. родолжении остающаяся однозначной. Ш. ф. являются автоморфными функциями, группа к-рых зависит от вида отображаемого треугольника. Требованию однозначности можно удовлетворить лишь в том случае, если углы треугольника равны где v1, v2, v3нeк-рые специально подобранные натуральные числа.

Если то получаются прямолинейные треугольники, для к-рых возможны только случаи: (полуполоса); v1=2, v2=3,v3=6; v1=2, v2=v3=4; v1=v2=v3=3. Во всех этих случаях Ш. ф. выражаются через тригонометрич. функции или через Вейерштрасса эллиптические функции и являются автоморфными функциями, группа к-рых есть группа движений евклидовой плоскости. Если 1/v1+1/v2+1/v3>1, то возможны следующие случаи: v1=v2=2, v3любое; v1=2, v2=v3=3; v1=2, v2=3, v3=4; v1=2, v2=3, v3=5. Во всех этих случаях Ш. ф. являются рациональными автоморфными функциями, группа к-рых есть конечная группа движений сферы. Вследствие связи этой группы с правильными многогранниками такие Ш. .