Математическая энциклопедия - шварца альтернирующий метод

один из общих методов решения Дирихле задачи, позволяющий получить решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения эллиптич. типа в областях D, представимых в виде объединения конечного числа областей Di, для к-рых решение задачи Дирихле уже известно. Работы Г. Шварца (1869; см. [1]) и ряд последующих работ других авторов были посвящены Ш. а. м. решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях. Сущность III. а. м. применительно к простейшему случаю уравнения Лапласа в объединении двух плоских областей заключается в следующем.

Пусть Аи В - две области на плоскости, имеющие непустое пересечение и такие, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для каждой из них известно; напр., если . и В - круги, то решение задачи Дирихле для каждого из них дается интегралом Пуассона. Пусть, далее, D - объединение областей . и В, для к-рого требуется найти решение задачи Дирихле (см. рис.). Через обозначена граница области А, через части границы попавшие в В(они входят в D). а через оставшиеся части, так что Аналогично граница области В, ее части, попавшие в A (они тоже входят в D),оставшиеся части, то есть Тогда граница области Dможет быть представлена в виде

Пусть теперь на задана непрерывная функция / и пусть требуется найти гармонич. функцию wв D, непрерывную в замкнутой области и принимающую на значения функции f. Сужение функции f на продолжается непрерывно на всю границу и для этих граничных значений находится решение u1 задачи Дирихле в А . Значения и 1 на вместе со значениями f на образуют теперь непрерывную функцию на для к-рой находится решение v1 задачи Дирихле в В. Далее, решение и 2 задачи Дирихле в Астроится по значениям функции f на и функции v1 на и т. д. Искомая функция имеет вид

Применение ограниченных решений задачи Дирихле для кусочно непрерывных граничных данных позволяет полагать, не заботясь о непрерывном продолжении f, значения равными нулю на оставшихся частях границ.

Метод, аналогичный Ш. а. м. (см. [2]), может быть применен к отысканию решения задачи Дирихле в пересечении двух областей Aи В, если ее решения для Аи Визвестны.

Ш. а. м. используется и при решении краевых задач более общей природы для общих уравнений эллиптич. типа (в том числе и порядка выше второго), подчиненных нек-рым дополнительным условиям [3], причем также и в пространственных областях.

Важное значение имеет Ш. а. м. для построения гармонич. функций различного вида (с наперед заданными особенностями) на римановых поверхностях [4].

Лит.: [1] SсhwarzН., Ges. math. Abh., Bd 2, В., 1890: [2] Neumann С., лBer. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. K1

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985