Математическая энциклопедия - шварца интеграл

-зависящий от параметра интеграл, дающий решение задачи Шварца о выражении аналитич. ции f(z)=u(z)+iv(z)в круге Dпо граничным значениям ее действительной (или мнимой) части ина граничной окружности . (см. [1]).

Пусть на единичной окружности дана непрерывная действительная функция и(j). Тогда интегральные формулы Шварца, выражающие аналитич. цию f(z)=u(z)+iv(z). граничные значения действительной части к-рой совпадают с (или граничные значения мнимой части совпадают с имеют вид

где си с 1 -произвольные действительные постоянные. Ш. и. (*) тесно связан с Пуассона интегралом. Выражение

часто наз. ядром Шварца, а интегральный оператор S, фигурирующий в первой формуле (*),оператором Шварца. Эти понятия обобщаются и на области произвольного вида комплексной плоскости (см. [3]). III. и. и его обобщения играют важную роль при решении граничных задач теории аналитических функций (см. также [3]) и исследовании граничных свойств аналитических функций (см. также [4]). При применении интегральных формул (*) возникает важный и более трудный вопрос о существовании и выражении граничных значений мнимой части v(z)и всей функции f(z) по данным граничным значениям действительной части (или граничных значений действительности части и(z)и всей функции f(z) по данным граничным значениям мнимой части Если данные функции или удовлетворяют на С Гёлъдера условию, то соответствующие граничные значения или выражаются формулами Гильберта

причем входящие в эти формулы интегралы являются сингулярными и существуют в смысле главного значения по Коши (см. [3]).

Лит.: [1] Schwarz Н., Ges. math. Abh., Bd 2, В., 1890; [2] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [3] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [4] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.Л., 1950.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985