Математическая энциклопедия - сильный относительный минимум

минимальное значение , достигаемое функционалом J(у)на кривой , , такое, что

(1)

для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих условию e-близости нулевого порядка:

(2)

на всем промежутке [x1, x2]. Предполагается, что кривые удовлетворяют заданным граничным условиям.

Если, помимо условия (2), требующего e-близости по ординате, добавить условие e-близости по производной:

(3)

на всем промежутке [х 1,х 2,]то говорят об условии e-близости первого порядка.

Значение, достигаемое функционалом J(у)на кривой , для к-рого неравенство (1) выполняется для всех кривых сравнения у(х),удовлетворяющих условию e-близости первого порядка, наз. слабым относительным минимумом.

Поскольку условие e-близости нулевого порядка

(2) выделяет более широкий класс кривых по сравнению с условием e-близости первого порядка (2),

(3), то всякий сильный минимум является одновременно слабым минимумом, но не всякий слабый минимум является сильным. В связи с указанным различием необходимые, а также достаточные условия оптимальности для сильного и слабого относительного минимума имеют неодинаковый вид.

Наряду с понятием С. о. м. можно ввести понятие абсолютного минимума. Абсолютный минимум это минимальное значение , достигаемое функционалом J(у)на всем множестве кривых, на к-рых функционал J(у)имеет смысл. Абсолютный минимум является глобальным, а сильный и слабый относительные минимумылокальными минимумами.

Абсолютный минимум является одновременно и С. о. м., но не всякий С. о. м. является абсолютным минимумом.

Вариационную задачу, имеющую более одного С. о. м., наз. многоэкстремалъной задачей. При решении практических вариационных задач С. о. м. находят приближенно, используя численные методы вариационного исчисления (см. Вариационное исчисление;численные методы).

Для задач, в к-рых С. о. м. единственный, необходимые условия оптимальности С. о. м. являются одновременно достаточными условиями абсолютного минимума. Такая ситуация имеет место, напр., в теории оптимального управления для линейных задач оптимального быстродействия (см. Оптимального быстродействия задача),а также для нек-рых других классов задач вариационного исчисления.

Лит.:[1] Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.-Л., 1950; [2] С м и р н о в В. И., Курс, высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985