Математическая энциклопедия - силова теоремы

три теоремы о максимальных р-подгруппах конечной группы, доказанные Л. Силовым [1] и играющие большую роль в теории конечных групп. Иногда объединение всех трех теорем наз. т е о р е м о й С и л о в а.

Пусть G - конечная группа порядка p^ms, где р простое число, не делящее число s. Тогда имеют место следующие теоремы.

Первая теорема Силова: группа Gсодержит подгруппы порядков р ⁱ для всех i=1, 2, . . ., т, причем каждая подгруппа порядка р ^i-1 является нормальной подгруппой по крайней мере в одной подгруппе порядка р ⁱ. Из этой теоремы, в частности, следуют такие важные утверждения: в группе G существует Силова подгруппа порядка р ^m;любая р-подгруппа группы Gсодержится в нек-рой силовской р-подгрупне порядка р ^т, индекс силовской р-подгруппы не делится на р; если G=P есть группа порядка р ^т, то любая ее собственная подгруппа содержится в нек-рой максимальной подгруппе порядка р ^т-1 и все максимальные подгруппы группы Рнормальны.

Вторая теорема Силова: все силовские р-подгруппы конечной группы сопряжены между собой. Для бесконечных групп аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.

Третья теорема Силова: число силовских р-подгрупп конечной группы делит порядок группы и сравнимо с единицей по модулю р.

Для произвольных множеств p простых чисел аналогичные теоремы о силовских p-подгруппах получены лишь в классе конечных разрешимых групп (см. Холла подгруппа). В неразрешимых группах ситуация иная. Напр., в знакопеременной группе А 5 степени 5 для p={2, 3} есть силовская p-подгруппа Sпорядка 6, индекс к-рой делится на число из p. Кроме того, в А 5 есть силовская p-подгруппа, изоморфная А 4 и несопряженная с S. Число силовских p-подгрупп в А 5 не делит порядок группы А 5.

Лит.:[1] S у 1 о w L., "Math. Ann.", 1872, Bd 5, S. 584-94; [2] Х о л л М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962. В. Д. Мазуров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985