Математическая энциклопедия - слоение

на n-мерном многообразии М ⁿ - такое разбиение М ⁿ на линейно связные подмножества, именуемые слоями, что М ⁿ можно покрыть координатными окрестностями Ua с локальными координатами , в терминах к-рых локальные слои компоненты связности пересечения слоев с Ua, задаются уравнениями =. С. в этом смысле наз. топологическим С.; требуя же, чтобы М ^п имело кусочно линейную, дифференцируемую или аналитич. структуру и чтобы локальные координаты были кусочно линейными, дифференцируемыми (класса С ^r). или аналитическими, получают определение кусочно линейного, дифференцируемого (класса С ^r).или аналитического С. Определение дифференцируемого С. класса С ^r формально годится и при r=0, совпадая в этом случае с определением топологич. С. Обычно, говоря о дифференцируемом С., подразумевают, что . Слои естественно снабжаются структурой n-мерных многообразий (топологических, кусочно линейных, дифференцируемых или аналитических) и тем самым оказываются подмногообразиями (в широком смысле слова) многообразия М ^п. Число р(размерность слоев) наз. размерностью С., a q=п-р - его коразмерностью. Рассматривая С. на многообразии с краем, обычно требуют либо трансверсальности слоев к краю, либо же того, чтобы слой, пересекающийся с краем, целиком в нем содержался. Очевидным образом определяются комплексно-аналитические С. Основным в теории С. является дифференцируемый случай (ниже С. и отображения, как правило, подразумеваются дифференцируемыми) .

Отображение является субмерсией. Локальные слои суть , .

Система локальных субмерсий {(Ua, ja)} является согласованной в том смысле, что если , то возле и можно перейти от ja(v). к jb(v) с помощью нек-рого локального диффеоморфизма (класса С ^r).пространства , т. е. для всех v, достаточно близких к и, имеет место . Обратно, если М ^п покрыто областями Ua. и заданы субмерсий , согласованные в том же смысле, что и выше, то путем подходящего "склеивания" между собой получается такое С., что каждое содержится в нек-ром слое.

Сопоставление каждой точке касательного пространства к проходящему через эту точку слою, приводит к нек-рому полю р-мерных касательных подпространств (но другой терминологии, р-мерному расслоению), к-рое наз. касательным полем С. При р=1 любое поле p-мерных касательных подпространств, при самых минимальных требованиях дифференцируемостй, является касательным нолем нек-рого однозначно определенного С. При p>1 это не так. Данный вопрос имеет локальный характер (см. Фробениуса теорема).

Непосредственное применение теоремы Фробениуса к инволютивному распределению показывает, что при выполнении соответствующих условий имеется система согласованных локальных субмерсий, для к-рых заданное поле касается, переход к С. осуществляется путем надлежащих "склеиваний" (в других терминах это описано в [3]).

Формирование понятия С. произошло в 40-х гг. 20 в. в цикле работ Ж. Риба (G. Reeb) и III. Эресмана (Ch. Ehresmann), завершившемся книгой [1] (в связи с историей см. [2]), и было связано с переходом к глобальной точке зрения. Этому отчасти способствовала теория гладких динамических систем, где разбиение фазового многообразия (с выкинутыми равновесия положениями).на траектории потока является одномерным С. Особое положение, к-рое в этой теории занимают потоки на поверхностях (Пуанкаре- Бендиксона теория, Дифференциальные уравнения на торе, Кнезера теорема). Особое положение, где траектории локально разбивают пространство, способствовало привлечению внимания к С. коразмерности 1. Другой пример С., проанализированный в 40-х гг.,разбиение группы Ли на смежные классы по аналитич. одгруппе (не обязательно замкнутой) (см. [3]). Наконец, в комплексной области решения дифференциального уравнения dw/dz=f(z, w).с аналитической правой частью образуют (с вещественной точки зрения) двумерное С.

После первых работ наступил перерыв в развитии теории С., к-рая тогда была еще бедна значительными результатами. Интенсивное развитие началось с работ А. Хефлигера [4] и С. П. Новикова [7], наиболее известные результаты к-рых таковы (см. [17]): С. коразмерности 1 на трехмерной сфере имеет компактный слой [7] и не может быть аналитическим [4], хотя еще Ж. Риб построил С. класса . Тогда же при изучении нек-рых динамич. систем (У-системы и родственные им) возникли нек-рые вспомогательные С. (уже не одномерные, что тоже стимулировало исследование С. (см. [7], [8]). Все эти работы и ряд последующих можно отнести к "геометрическому" или "качественному" направлению [16]. В нем большое внимание уделяется С. коразмерности 1, существованию компактных слоев, теоремам устойчивости (устанавливающим, что при определенных условиях С. с компактным слоем устроено в его окрестности и глобально как расслоение; первые такие теоремы доказал еще Ж. Риб, см. [17]), характеристике "роста" слоев (т. е. зависимости р-мерного объема геодезич. шара радиуса r на слое от r).или их фундаментальных групп. Отметим также недавнее решение вопроса: если на замкнутом М ^п имеется р-мерное С., все слои к-рого компактны, то обязательно ли ограничен р-мерный объем слоев? Д. Эпстейн (D. Epstein), Д. Сулливан (D. Sullivan) и др. выяснили, что ответ положительный только при (см. [9]).

Позднее возникло "гомотопическое" направление, прообразом к-рого послужила гомотопич. теория расслоений. Отличия, возникающие для С., отчасти связаны с тем, что для С., вообще говоря, нет аналога индуцированному расслоению. Это вынуждает перейти от С. к более общим объектам Хефлигера структурам (нечто вроде С. с особенностями), для к-рых такой аналог имеется.