Математическая энциклопедия - соболева обобщенная производная

локально суммируемая обобщенная производная от локально суммируемой функции (см. Обобщенная функция).

Подробнее, если есть открытое множество в п- мерном пространстве и F(x)и f(x) - заданные на локально суммируемые функции, то f(x)есть обобщенная частная производная по х j поСоболеву от функции F(x) на

если выполняется равенство

для любых бесконечно дифференцируемых финитных в функций эта производная С. о. п.определена только почти всюду на

Другое эквивалентное определение С. о. п.: пусть локально суммируемую на функцию F(x)можно видоизменить на множестве n-мерной меры нуль так, что она будет локально абсолютно непрерывной по х j для почти всех в смысле ( п-1)-мерной меры точек (х 1,...,xj-l. xj+l,..., х n). Тогда функция F будет иметь обычную частную производную xj почти для всех Если она локально суммируема, то она и наз. С. о. п.

Третье эквивалентное определение С. о. п.: пусть для определенных на функций F(х)и f(х)можно подобрать последовательность непрерывно дифференцируемых на функций {Fk(x)}таких, что для любой области замыкание к-рой принадлежит имеет место

тогда f(x) есть С. о. п. от F(х) на

По индукции определяются С. о. п. на от F(если они существуют) более высокого порядка:

Они не зависят от порядка дифференцирования, напр.

почти всюду на

Лит.:[1] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, [2 изд.], Новосиб., 1962; [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975.

С. М. Никольский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985