Математическая энциклопедия - собственное значение

оператора (преобразования) А векторного пространства Lнад полем k - элемент такой, что существует ненулевой вектор удовлетворяющий условию

Вектор хв этом равенстве наз. собственным векторам оператора А, принадлежащим С. з. В случае, когда оператор А линеен, С. з.это такой элемент что оператор (где I тождественный оператор) не инъективен. Если пространство . конечномерно, то С. з. совпадают с корнями характеристического многочлена (из поля k), где А - матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е - единичная матрица. Кратность С. з. как корня этого многочлена наз. алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем kмножество С. з. непусто. Оба условия конечномерность и алгебраич. замкнутость существенны. Напр., поворот евклидовой плоскости на любой угол, не кратный не имеет С. з. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единичного круга С. з.

Совокупность всех С. з. линейного преобразования конечномерного пространства наз. спектром линейного преобразования. Линейное преобразование n-мерного пространства диагоналмзируемо (т. е. существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого С. з. равна его геометрической кратности размерности собственного подпространства (см. Собственный вектор). соответствующего данному С. з. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело празличных С. з.

Собственное значение квадратной матрицы . над полем k(или характеристический корень) корень ее характеристического многочлена.

Лит. см. при статьях Линейное преобразование. Матрица.

Т. С. Пиголкина, В. С. Шулъман.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985