Математическая энциклопедия - собственные значения дифференциальных операторов

численные методы нахождения методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упругих ограниченных тел описываются уравнением

где нек-рое дифференциальное выражение. Если решение уравнения (1) искать в виде

то относительно функции иполучается уравнение

внутри ограниченной области при нек-рых однородных условиях на ее границе. Значения параметра при к-рых существуют отличные от тождественного нуля решения уравнения (2), удовлетворяющие однородным краевым условиям, наз. собственными значениями (числами), а их соответствующие решения собственными функциями. Возникающая при этом дифференциальная задача на собственные значения состоит в нахождении собственных значений и соответствующих им собственных функций.

Численное решение дифференциальной задачи на собственные значения проводится в три этапа:

1) сведение задачи к более простой, напр. к алгебраической (дискретной);

2) выяснение точности дискретной задачи;

3) вычисление собственных значений дискретной задачи (см. Линейная алгебра;численные методы).

Сведение к дискретной задаче. Сведение задачи (2) к ее дискретной модели производится в основном сеток методом и проекционными методами. При этом естественно требовать, чтобы основные свойства исходной задачи сохранялись в ее дискретном аналоге. В частности, должна сохраняться самосопряженность соответствующих дискретных операторов в пространстве функций дискретного аргумента.

Одним из методов такого сведения является интегро-интерполяционный метод. Напр., пусть поставлена задача

Эта задача возникает, напр., при изучении поперечных колебаний неоднородной струны и продольных колебаний неоднородного стержня.

На отрезке [0, 1] вводится разностная сетка с узлами xi=ih,i=0,l,. . ., N, h=1/N. Каждому узлу xi, i=l,. . ., N -1, ставится в соответствие элементарная область Интегрирование по областям Si уравнения (3) приводит к выражению

Пусть

Тогда

При подстановке (6) в (5) получается уравнение

где v - искомая сеточная функция. Краевые условия v0=0, vN=0 приводят к алгебраич. задаче на собственные значения

где А - трехдиагональная симметрич. матрица порядка n = N -1 (см. [10]).

Вариационно-разностный метод сведения к дискретной задаче используется, когда задача на собственные значения может быть сформулирована как вариационная. Напр., собственные значения задачи (3), (4) являются стационарными значениями функционала

При замене интегралов квадратурными суммами, а производных разностными отношениями, дискретный аналог функционала имеет вид

где а i разностный аналог коэффициента р(х), к-рый может быть вычислен по формуле (6). Дискретный аналог задачи (3), (4) получается из необходимого условия экстремума

Дифференцирование приводит снова к задаче (7) (см. [9]).

Проекционно-разностный метод сведения к дискретной задаче состоит в следующем. Выбирается линейно независимая координатная система функций и линейно независимая проекционная система функций Приближенные собственные функции ищутся в виде

Коэффициенты разложения vi и приближенные собственные значения определяются из условия

где скалярное произведение в гильбертовом пространстве. [При совпадении координатной и проекционной систем говорят о методе Бубнова Галеркина. Если, кроме того, оператор дифференциальной задачи самосопряженный, то метод наз. методом Рэлея Ритца (см. [4]). ] В частности, для задачи (3), (4), если все удовлетворяют (4), условие (8) принимает вид

Чтобы упростить получение алгебраич. задачи, систему функций выбирают почти ортогональной.

Взяв в качестве координатной и проекционной систем функции вида

xi= ih из (9) получают

где

Таким образом, вместо с краевыми условиями получается обобщенная задача на собственные значения:

Здесь Аи D - трехдиагональные симметрич. матрицы порядка n=N -1.

Перечисленными методами получаются дискретные модели в случае и др. уравнений. Напр., для стержня:

для мембраны:

для пластины:

Собственные векторы, соответствующие удовлетворяют однородной системе алгебраич. уравнении:

Задача нахождения всех собственных значений и собственных векторов матрицы Аназ. полной проблемой собственных значений. Задача нахождения нескольких собственных значений матрицы . наз. частичной проблемой собственных значений. В случае алгебраич. систем, соответствующих рассматриваемой задаче, наиболее часто возникает частичная проблема собственных значений. Применение традиционных методов ее решения требует весьма значительного объема вычислений ввиду плохой разделенности собственных значений матрицы А . В этом случае наиболее эффективны модифицированные градиентные методы с использованием спектрально эквивалентных операторов (см. [16]) и многосеточные методы (см; [17]).

Лит.:[1] Бублик Б. Н., Численное решение задач динамики пластин и оболочек, К., 1969; [2] Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; [3] Гулд С., Вариационные методы в задачах о собственных значениях, пер. с англ., М., 1970; [4] Коллатц Л., Задачи на собственные значения, пер. с нем., М., 1968; [5] Приказчиков В. Г., лЖ. вычисл. матем. и матем. физ.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985