Математическая энциклопедия - спуска метод

метод решения задачи минимизации где f нек-рая функция переменной х= (х 1, . . ., х n). Итерационная последовательность { х ^k} С. м. вычисляется по формуле

где g^k вектор, указывающий нек-рое направление убывания функции f в точке х ^k, а итерационный параметр, величина к-рого указывает длину шага в направлении g^k. Если функция f дифференцируема и x^k не является ее точкой экстремума, то вектор g^k должеа удовлетворять неравенству

где f' (x^k) - градиент функции f в точке x^k.

Если f достаточно гладкая функция (напр., дважды непрерывно дифференцируемая) и последовательность векторов { х ^k}удовлетворяет неравенству (*), то существует такая последовательность что

При определенных ограничениях (см. [3]) на функцию f и способ выбора параметров и векторов gk последовательность {а:*} сходится к решению х* исходной задачи.

К С. м. относятся градиентные методы, в к-рых векторы {g*}каким-либо образом выражаются через векторы {f'(x^k)}. Одним из наиболее распространенных является случай, когда

где В(х) - симметрическая матрица, удовлетворяющая для любых векторов хи у неравенству

с нек-рыми константами При дополнительных предположениях (см. [3])относительно f и специальном выборе градиентный метод обеспечивает сходимость последовательности { х ^k} к решению { х*}исходной задачи со скоростью геометрич. прогрессии со знаменателем g<l. Частным случаем градиентных методов является наискорейшего спуска метод, в к-ром матрица В(х)выбирается единичной.

Лит.: [1] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, 2 изд., М., 1977; [2] 3ойтендейк Г., Методы возможных направлений, пер. с англ., М., 1963; [3] Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М., Численные методы в экстремальных задачах, М., 1975; [4] Поляк Б. Т., лЖ. вычисл. математики и матем. физики

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985