Математическая энциклопедия - градиент

одно из основных понятий векторного анализа и теории нелинейных отображений.

Градиентом скалярной функции векторного аргумента из евклидова пространства Е ⁿ наз. производная функции f(t).по векторному аргументу t, то есть n-мерный вектор с компонентами , . Существуют следующие обозначения Г. функции f(t) в точке :

Г. представляет собой ковариантный вектор: компоненты Г., вычисленные в двух различных координатных системах и , связаны соотношениями:

Вектор , начало к-рого помещено в точку , указывает направление наискорейшего роста функции , ортогональное линии или поверхности уровня функции , проходящей через точку .

Производная функции в точке в направлении произвольного единичного вектора равна проекции Г. функции на это направление:

где угол между и . Максимум производной достигается при , т. е. в направлении Г., и равен длине Г.

Понятие Г. тесно связано с понятием дифференциала функции. В случае дифференцируемости в точке вблизи

то есть . Существование в точке t0 Г. функции не достаточно для справедливости формулы (2).

Точка , в к-рой , наз. стационарной (критической или экстремальной) точкой функции . Такой точкой является, напр., точка локального экстремума функции и система используется для нахождения экстремальной точки t0.

При вычислении значения Г. справедливы формулы:

Г. есть производная в точке по объему векторной функции объема

где Е - область с границей элемент площади , а единичный вектор внешней нормали к . Другими словами

Формулы (1), (2) и перечисленные выше свойства Г. указывают на инвариантный относительно выбора системы координат характер понятия Г.

В криволинейной системе координат в к-рой квадрат длины элемента

компоненты Г. функции , отнесенного к ортам, касающимся координатных линий в точке х, равны

где матрица обратная к матрице .