Математическая энциклопедия - тета-функция

, ТЕТА-ФУНКЦИЯ -функция, одного комплексного переменного квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к-poro к значению аргумента значение функции умножается на нек-рый мультипликатор. Иначе говоря, имеют место тождества по z:

Как периодическая целая функция, Т.-ф. всегда представима рядом

в к-ром подбор коэффициентов с п должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. тета-рядами (по причине первоначальных обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения.

В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида

где k- натуральное число, называемое порядком или весом Т.-ф., q - числовой множитель, Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида

Во многих вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям

Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка kсоставляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде

Отдельные примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier).

К. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. системaтич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции).

Т.-ф. нескольких комплексных переменных возникают как естественное обобщение Т.-ф. одного комплексного переменного. Они строятся следующим образом. Пусть z=(z1, . . ., zp) - матрица-строка ркомплексных переменных, есть -я строка единичной матрицы Епорядка р; п= (п 1, . . ., п р) - целочисленная матрица-строка; -симметрич. матрица порядка р, составленная из комплексных чисел и такая, что матрица порождает положительно определенную квадратичную форму (здесь транспонированная матрица п). Кратный тета ряд

сходится абсолютно и равномерно на компактах из и определяет, следовательно, целую трансцендентную функцию ркомплексных переменных z1, . . ., zp, называемую тета-функциен порядка 1. Различные элементы матрицы Аназ. модулями, или параметрами Т.-ф. число модулей равно р(р+1)/2. Т.-ф. 1-го порядка удовлетворяет следующим основным тождествам по z:

где v=l, . . ., р; при и при Матрица S=(E, А )размера является системой модулей, или системой периодов и квазипериодов, Т.-ф. Если m=(m1, . . . .. ., т р), т' =( т'1, . . ., т' р) - произвольные целочисленные матрицы-строки, то в более общем виде свойства периодичности Т.-ф. можно записать так:

Пусть произвольные комплексные матрицы-строки, матрица размера Тогда формула

определяет Т.-ф. 1-го порядка с характеристикой (общего вида) Г; в этой терминологии Т.-ф. (3) имеет характеристику 0. Матрица Г иначе наз. периодич. характеристикой матрицы Всегда Свойства (4) для Т.-ф. с характеристикой Г обобщаются в виде

Характеристика наз. нормальной, если

Наиболее употребительны дробные характеристики, когда все неотрицательные правильные рациональные дроби с общим знаменателем Наиболее важный и простой случай полуцелые, или половинные, характеристики, когда Полуцелые характеристики можно считать составленными из чисел 0 и 1 (обычно под лтета-характеристиками

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985