Математическая энциклопедия - толерантный интервал

случайный интервал, построенный по независимым одинаково распределенным случайным величинам, функция распределения к-рых F(х)неизвестна, и содержащий с заданной вероятностью по крайней мере долю р(0<р<1) вероятностной меры dF.

Пусть X1, Х 2, . . ., Х п - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция распределения к-рого . (х)неизвестна, и пусть Т 1=Т 1( Х 1, . . ., Х n) и T2=T2 (Х 1, . . ., Х n) такие статистики, что для заранее фиксированного числа р(0<р<1) событие {F(T2)-F (T1)>р}имеет заданную вероятность т. е.

В таком случае, случайный интервал (T1, Т 2 )наз. толерантным интервалoм для функции распределения F(х), его границы Т 1 и Т 2 - толерантными пределами, а вероятность коэффициентом доверия. Из (1) следует, что односторонние толерантные пределы Т 1 и Т 2 представляют собой не что иное, как обычные односторонние доверительные пределы с коэффициентом доверия для квантилей соответственно, т. е.

Пример. Пусть Х 1, Х 2, . . ., Х n -независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону, параметры к-рого аи неизвестны. В этом случае в качестве толерантных пределов Т 1 и Т 2 естественно выбрать функции, зависящие от достаточной статистики где

Именно, полагают и где константа k, называемая толерантным множителем, определяется как решение уравнения

где Ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона, при этом не зависит от неизвестных параметров аи Построенный таким образом Т. и. обладает следующим свойством: с доверительной вероятностью в интервале содержится не менее чем доля рвероятностной массы нормального распределения, к-рому подчиняются наблюдения X1, Х 2, . . ., Х n.

В предположении существования плотности вероятности f(x)=F' (х), вероятность события не зависит от F (х)тогда и только тогда, когда толерантные пределы Т 1 и Т 2 суть порядковые статистики. Именно этот факт положен в основу общего метода построения непараметрических или, как их еще называют, свободных от распределения Т. и. Пусть вектор порядковых статистик, построенный по выборке X1, X2, . . ., Х n и пусть

В силу того, что случайная величина подчиняется бета-распределению с параметрами s-r и п-s+r+1, вероятность события выражается интегралом I1-р(п-s+r+1, s-r), где I х( а, b) - неполная бета-функция и, следовательно, в этом случае вместо (1) имеет место соотношение

к-рое и позволяет по заданным ри попределять номера r и s порядковых статистик X(nr) и X(ns),являющихся толерантными пределами искомого Т. и. Кроме того, соотношение (2) позволяет по заданным и sопределять необходимый объем пвыборки X1, Х 2, . . ., Х n при к-ром (2) справедливо. При решении подобных задач пользуются статистич. таблицами.

Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Уилкс С., Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [3] Дэйвид Г., Порядковые статистики, пер. с англ., М., 1979; [4] Murphy R. В., лAnn. Math. Statistics

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985