Математическая энциклопедия - ультрафильтр

фильтр, являющийся максимальным в том смысле, что всякий содержащий его фильтр совпадает с ним.

У. можно определить как систему подмножеств, удовлетворяющую трем условиям: 1) пустое множество ей не принадлежит; 2) пересечение двух принадлежащих ей подмножеств также ей принадлежит; 3) для любого подмножества либо оно само, либо его дополнение принадлежит этой системе.

Все У. делятся на два класса: тривиальные (или фиксированные) и свободные. У. наз. тривиальным, если он представляет собой систему всех подмножеств, содержащих нек-рую точку, такой У. наз. также фиксированным на этой точке. У. наз. свободным, если пересечение всех его элементов есть пустое множество, другими словами, если он не фиксирован ни на какой точке. Существование свободных У. недоказуемо без Выбора аксиомы.

Для каждого фильтра имеется содержащий его У., более того, каждый фильтр есть в точности пересечение всех содержащих его У.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; [2] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.

В. И. Малыхин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985