Математическая энциклопедия - упругости математическая теория

раздел механики, в к-ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. Напряжение в любой точке тела характеризуется 6 величинами компонентами напряжений: нормальными напряжениями и касательными напряжениями причем и т. д. Деформация в любой точке тела также характеризуется 6 величинами компонентами деформаций: относительными удлинениями и сдвигами причем и т. д.

Основным физическим законом теории упругости является обобщенный закон Гука, согласно к-рому нормальные напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид:

где -средняя (гидростатич.) деформация, и -Ламе постоянные. Равенство (1) можно также представить в виде:

где -среднее (гидростатич.) напряжение, К модуль всестороннего сжатия.

Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

Из входящих сюда 36 коэффициентов cij, называемых модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала.

У. м. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и так наз. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты и х, и у, и z вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат х, y, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия:

где r плотность материала, X, У, Z - проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (напр., силы тяжести), отнесенные к массе этой частицы.

К 3 уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и еще 6 равенств вида:

устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.

Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесенные к единице площади, равны Fx, Fy, Fz,aдля части S2 этой поверхности заданы перемещения ее точек граничные условия имеют вид:

где l1, l2, l3 косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S1 трем равенствам (5), а вторые что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S2 равенствам (6); в частном случае может быть (часть поверхности S2 жестко закреплена).

В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу, решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конического тела и др. Так как уравнения У. м. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путем суммирования решений для каждой системы сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путем суммирования (интегрирования). Такие решения, называемые функциями Грина, получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитических методов решения пространственной задачи У. м. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), метод упругих потенциалов и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.).

При решении плоских задач (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближенные решения многих практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений (см. Плоская задача теории упругости, Оболочек теория).

В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения температуры. При постановке этой задачи в правую часть первых трех уравнений (1) добавляется член где коэффициент линейного теплового расширения, Т(х 1, х2, х3) - заданное поле температуры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости подвергаемых облучению тел. Большой практический интерес представляют задачи У. м. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэффициенты и в уравнении (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистич. методы У. м. т., отражающие статистич. природу свойств поликристаллич. тел.

В динамических задачах теории упругости искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для матем. решения этих задач являются дифференциальные уравнения движения, отличающиеся от уравнений (3) тем, что правые части вместо нуля содержат инерционные члены и т. д.

Одной из проблем У. м. т. является постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.

Лит.:[1] Ляв А., Математическая теория упругости, пер. с англ., М.Л., 1935; [2] Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, 2 изд., М.Л., 1947; [3] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основныезадачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; [4] Трехмерные задачи математической теории упругости, Тб., 1968; [5] Лурье А. И., Теория упругости, М., 1970; [6] Стретт Д ж. В. [лорд Рэлей], Теория звука, пер. с англ., т. 1-2, М., 1955; [7] Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964; [8] Снеддон И. Н., Берри Д. С., Классическая теория упругости, пер. с англ., М., 1961; [9] Тимошенко С. П., Гудьер Д ж. Н., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975.

По материалам статьи Упругости теория из БСЭ-3.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985