Математическая энциклопедия - вариация отображения

числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение

где и -непрерывные на квадрате X функции. Говорят, что отображение имеет ограниченную вариацию, если существует число такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов со сторонами, параллельными осям координат справедливо неравенство

где обозначает образ множества при отображении , а плоскую меру Лебега множества Е. При этом численное значение В. о. может быть определено различными способами. Напр., пусть отображение имеет ограниченную вариацию. Тогда вариация может быть определена по формуле

где число решений системы (индикатриса Банаха отображения ), Если отображение имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на существует обобщенный якобиан , к-рый интегрируем на . При этом.

где квадрат, содержащий точку , стороны к-рого параллельны осям (см. [2]).

Лит.: [1] Ваnасh S., "Fundara. math.", 1925, t.7, p. 22536; [2] Кудрявцев Л. Д., в сб.; Метрические вопросы теории функций и отображений, в. 1, К., 1969, с. 34-108.

Б. И. Голубое.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985