Математическая энциклопедия - винера интеграл

абстрактный интеграл лебе-говского типа по множествам бесконечномерного функционального пространства от функционалов, определенных на этих множествах. В. и. введен Н. Винером (N. Wiener) в 20-х гг. 20 в. в связи с вопросами броуновского движения (см. [1], [2]).

Пусть векторное пространство непрерывных функций , определенных на [0, 1] и таких, что с нормой

Квазиинтервалом этого пространства наз. множество

}

( и могут равняться, соответственно, , но тогда знак заменяется на ). Примером квазиинтервала может служить все пространство

Мерой Винера квазиинтервала Qназ. число

и . Эта мера распространяется до -аддитивной меры, определенной на борелевском теле множеств, порожденном квазиинтервалами (по-прежнему наз. мерой Винера). Пространство измеримо в смысле меры Винера и

Пусть -функционал, определенный на и измеримый относительно меры . Интеграл

лебеговского типа наз. интегралом Винера, или интегралом по мере Винера от функционала . Если измеримо, то

где характеристич. функция множества Е. В. и. обладает рядом свойств обычного интеграла Лебега. В частности, ограниченный и измеримый на множестве Ефункционал интегрируем по мере Винера на этом множестве и если, кроме того, функционал F(х).непрерывен и неотрицателен, то

где значение функционала Fна ломаной с вершинами в .

Вычисление В. и. даже для сравнительно простых функционалов представляет значительную трудность. Иногда эту задачу удается свести к нахождению решения некоторого дифференциального уравнения (см. [1]).

Существует метод приближенного вычисления В. и. путем аппроксимации его конечномерными Стилтьеса интегралами высокой кратности.

Лит.:[1] Ковальчик И. М., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 1, с. 97-134; [2] Шилов Г. Е., там же, в. 2, с. 99-120. В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985