Математическая энциклопедия - виноградова метод

новый метод оценок три-гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод). В. м. позволяет получить очень точные оценки для широкого класса тригонометрич. сумм, в к-рых переменная суммирования пробегает значения последовательных целых чисел, последовательных простых чисел и т. д., что, в свою очередь, дает возможность решить целый ряд классич. проблем аналитич. теории чисел (распределение дробных долей широкого класса функций, распределение простых чисел в натуральном ряде, аддитивные проблемы, частными случаями к-рых являются проблемы Варинга и Гольдбаха, и др.).

Различают две части В. м.: метод оценок Вейля сумм и метод оценок тригонометрич. сумм с простыми числами. Обе части метода используют основную идею И. М. Виноградова идею сглаживания двойной тригонометрич. суммы, к-рая состоит в следующем. Пусть дана сумма

где переменные суммирования и п и пробегают значения целых чисел (не обязательно последовательные) в количестве, соответственно, а произвольные комплекснозначные функции. Тогда

где ипробегает последовательные целые числа интервала (сглаживание),

В. м. оценок сумм Вейля. Оцениваются суммы

где причем -действительные числа. При будет

где а буквой Wобозначена двойная сумма по хи у, и Далее, обозначив выражение

при любых из области

При любом целом :

где максимальное число совпадений точек с координатами

причем фигурные скобки обозначают дробную часть числа, а уменяется в пределах от 1 до Y, и ,

При определенных арифметич. свойствах коэффициентов многочлена f(x).для величины G(Y).можно получить оценку Кроме того, последний интеграл не превосходит числа решений системы уравнений:

Для оценки числа решений этой системы используется Виноградова теорема о среднем, к-рая является основной в В. м. оценок сумм Вейля (см. Виноградова оценки). В. м. оценок тригонометрических сумм спростыми числами. Оцениваются суммы

где действительные числа. Пусть С помощью известного свойства функции Мебиуса сводится к небольшому числу сумм (это число не превосходит ) вида

где В кратной сумме переменные пробегают сплошные интервалы суммирования. Те суммы , в к-рых интервал суммирования хотя бы по одной переменной тдлинный, оцениваются с помощью В. м. оценок сумм Вейля. В противном случае длинным будет интервал суммирования по одной из переменных суммирования . Тогда применяется следующая лемма И. М. Виноградова, к-рая вместе с идеей сглаживания двойных сумм является основной в В. м. оценок тригонометрич. сумм с простыми числами.

Лемма. Пусть и D - произведение всех простых чисел, не превосходящих , тогда все делители dчисла D, не превосходящие х, можно распределить среди менее чем совокупностей со следующими свойствами: