Математическая энциклопедия - винеровский процесс

однородный гауссов-ский процесс X(t) с независимыми приращениями. В. п. служит одной из математич. моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием В. п. может быть превращен в "стандартный" В. п. , , для к-рого

при таких средних значениях и дисперсиях приращений это единственный непрерывный с вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями. Ниже под В. п. будет пониматься именно этот процесс.

В. п. определяется также как гаус-совский случайный процесс с нулевым математич. ожиданием и корреляционной функцией

В. п. может быть определен как однородный марковский процесс с переходной функцией

где переходная плотность есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения

и описывается формулой

Переходная функция инвариантна относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве:

где Г уобозначает множество

В. п. является непрерывным аналогом случайного блуждания частицы, к-рая в дискретные моменты времени (кратные ) в результате случайного воздействия каждый раз независимо от предшествующих обстоятельств смещается на величину точнее, если при

случайная траектория движения такой частицы на отрезке [0, 1] (здесь целая часть nt, при ), а соответствующее распределение вероятностей в пространстве непрерывных функций то распределение вероятностей траектории В. п. является предельным (в смысле слабой сходимости) для распределений

Как функция со значениями в гильбертовом пространстве . всех случайных величин в к-ром скалярное произведение определено формулой

В. п. допускает следующее каноническое представление:

где независимые гауссовские величины:

собственные функции оператора В, определенного формулой:

в гильбертовом пространстве всех интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры) функций на отрезке [0, 1].

Для почти всех траекторий В. п, имеют место следующие соотношения:

закон повторного логарифма;

что характеризует модуль непрерывности на отрезке ;

В применении к В. п. вида

закон повторного логарифма записывается в форме:

Характер смещения броуновской частицы за конечное время tможет быть описан с помощью распределения вероятностей максимума :

фиксировано, а также с помощью распределения времени т первого достижения броуновской частицей фиксированной точки