Математическая энциклопедия - возмущение линейной системы

отображение f в системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Обычно возмущение предполагается малым в к.-л. смысле, напр.,

Решение линейной системы с возмущением (1) и решение линейной

системы с одним и тем же начальным значением при связаны соотношением

наз. формулой вариации постоянных, где фундаментальная матрица линейной системы (3).

А. М. Ляпунов (см. [1]) доказал асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (1) (см. Асимптотически устойчивое решение), если соотношение (2) справедливо равномерно по t, а матрица A(t).постоянна и все действительные части ее собственных значений отрицательны; если же хоть одна из них положительна, то тривиальное решение неустойчиво.

Исследование периодического решения системы описывающей колебательный процесс, преобразованием приводится в общем случае к исследованию линейной системы с возмущениями, правая часть к-рой периодична по t(см. [3]).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.-Л., 1950; [2] Вылов Б. Ф. [и др.], Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Л. Э. Рсйзинь.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985