Математическая энциклопедия - возможных перемещений принцип

виртуальных скоростей принцип,дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями.

Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ заданных активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю или меньше нуля:

в любой момент времени.

Возможными (виртуальными) перемещениями системы наз. элементарные (бесконечно малые) перемещения точек системы, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями. Если связи являются удерживающими (двусторонними), то возможные перемещения обратимы, и в условии (*) следует брать знак равенства; если же связинеудерживающие (односторонние), то среди возможных перемещений имеются необратимые. При движении системы под действием активных сил связи действуют на точки системы с нек-рыми силами реакций (пассивные силы), в определении к-рых предполагается полностью учтенным механич. действие связей на систему (в том смысле, что связи возможно заменять вызванными ими реакциями) (аксиома освобождаемости). Связи наз. идеальными, если сумма элементарных работ их реакций причем знак равенства имеет место для обратимых возможных перемещений, а знаки равенства или больше нуля для необратимых перемещений. Положения равновесия системы такие положения в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями при этом предполагается, что уравнения связей удовлетворяются при любом tзначениями Активные силы в общем случае предполагаются заданными функциями а в условии (*) следует считать

В условии (*) содержатся все уравнения и законы равновесия систем с идеальными связями, благодаря чему можно сказать, что вся статика сводится к одной общей формуле (*).

Закон равновесия, выражаемый В. п. п., впервые был установлен Гвидо Убальди (Guido Ubaldi) на рычаге и на движущихся блоках или полиспастах. Г. Галилей (G. Galilei) установил его для наклонных плоскостей и рассматривал этот закон как общее свойство равновесия простых машин. Дж. Валлис (J. Wallis) положил его в основание статики и из него вывел теорию равновесия машин. Р. Декарт (R. Descartes) свел всю статику к единому принципу, к-рый, по существу, совпадает с принципом Галилея. И. Бернулли (J. Bernoulli) первый понял большую общность В. п. п. и его полезность при решении задач статики. Ж. Лагранж [1] выразил В. п. п. в общей форме и тем самым свел всю статику к адиной общей формуле; он дал доказательство (не вполне строгое) В. п. п. для систем, стесненных двусторонними (удерживающими) связями. Общая формула статики для равновесия любой системы сил и разработанный Ж. Лагранжем метод применения этой формулы были систематически им использованы для вывода общих свойств равновесия системы тел и решения различных проблем статики, включая задачи равновесия несжимаемых, а также сжимаемых и упругих жидкостей. Ж. Лагранж считал В. п. п. основным принципом для всей механики. Строгое доказательство В. п. п., а также распространение его на односторонние (неудерживающие) связи было дано Ж. Фурье [2], М. В. Остроградским [3].

Лит.:[1] Lagrange J., Mecanique analytiquc, P., 1788 (рус. пер.: Лагранж Ж., Аналитическая механлка, М.-Л., 1950); [2] Fourier J., "J. de 1'Ecole Polytechnique", 1798, t. II, p. 20; [3] Остроградский М. В., Лекции по аналитической механике, Собр. соч., т. 1, ч. 2, М.-Л., 1946.

В. В. Румянцы.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985