Математическая энциклопедия - адамара матрица

где Н ^Т - транспонированная матрица Н, а In единичная матрица порядка п. Равенство эквивалентно утверждению, что любые две строки Нортогональны. А. м. названы по имени . Адамара, доказавшего [1], что определитель матрицы порядка и, элементы к-рой суть комплексные числа, удовлетворяет не равенству Адамара:

где

akj - элемент, сопряженный (см. А дамара теорема об определителях). В частности, если то Отсюда следует, что А. м. есть квадратная матрица из порядка пс максимальным абсолютным значением определителя, равным . Свойства А. м.: 1) из следует и наоборот; 2) перестановка строк или столбцов и умножение элементов к.-л. строки или столбца А. м. на 1 сохраняют свойство матрицы быть А. м.; 3) прямое произведение двух А. м. есть снова А. м., порядок к-рой равен произведению порядков сомножителей. Иными словами, если и суть А. м. порядков ти п соответственно, то есть А. м. порядка тп. А. м., у к-рой первая строка и первый столбец состоят из +1, наз. нормализованной. Порядок А. м. n=1, 2 или (mod 4). Нормализованные А. м. порядков 1 и 2 суть:

Существование А. м. доказано для нескольких классов значений п(см., напр., [2], [3]). Предположение о существовании А. м. для любого остается (70-е гг. 20 в.) недоказанным. Методы построения А. м. рассмотрены в [2]. А. м. используются при построении нек-рых типов блок-схем[2] и кодов [3]. Так, А. м. порядка эквивалентна адамаровой ( )-конфигурации.

Обобщенной А. м. наз. квадратная матрица порядка h, элементами к-рой являются корни р- ойстепени из единицы и к-рая удовлетворяет равенству где транспонированная матрица Нс сопряженными элементами, а единичная матрица порядка h. Для обобщенных А. м. справедливы свойства, аналогичные 1) и 3) (см. [4]).

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985