Математическая энциклопедия - альтернирующие узлы и зацепления

узлы и зацепления, имеющие альтернирующую диаграмму (см. Узлов и зацеплений диаграммы), т. е. такую проекцию в общее положение на плоскость, при к-рой при обходе каждой компоненты проходы сверху и снизу двойных точек чередуются. Каждую диаграмму можно превратить в альтернирующую, изменив в нек-рых двойных точках проходы сверху и снизу.

Пусть F - поверхность Зейферта. В отличие от общего случая, неравенство где d - степень многочлена Александера (см. Александера инварианты), h - род поверхности Зейферта и число компонент зацепления k, становится для А. у. и з. равенством. Поэтому род А. з. может быть вычислен по любой его альтернирующей диаграмме, и поверхность Зейферта оказывается поверхностью минимального рода. Это показывает также, что если диаграмма нормирована, т.

е. на плоскости проекции нет простого замкнутого контура, который пересекает диаграмму в одной двойной точке, то зацепление тривиально (см. Узлов теория).в том и только том случае, когда диаграмма не имеет двойных точек. Если такой контур есть, то вращением на части диаграммы, лежащей внутри него, мощно уменьшить число двойных точек, сохраняя диаграмму альтернированной.

Это дает алгоритм для решения вопроса о тривиальности А. у. и з. Кроме того, если диаграмма связана, то зацепление не распадается, так как а приведенный полином Александера распадающегося зацепления равен нулю. Матрица Александера вычисляется как матрица инци-денций нек-рого графа, откуда выводится (см. [1], [2]), что альтернирующий полином, т. е. его коэффициенты не нули и их знаки чередуются. Если то А. у. и з. являются Нейвирта узлами и зацеплениями. Для А. у. и з. число двойных точек нормированной диаграммы не больше, чем его детерминант. Группы А. у. и з. (см. Узлов и зацеплений группы).представляются в виде свободного произведения с отождествлением двух свободных групп нек-рого ранга qпо подгруппе ранга Это представление получается с помощью теоремы Ван Кампена, если пространство зацепления kразбить границей регулярной окрестности относительно kповерхности Зейферта, построенной по .