Математическая энциклопедия - альтернирование

кососимметрирование, антисимметрирован не, альтернация, одна пэ операций тензорной алгебры, при помощи к-рой по данному тензору строится ко-сосимметрический (по группе индексов) тензор. А. всегда производится по нескольким верхним или нижним индексам. Тензор с координатами является результатом А. тензора с координатами по верхним индексам, напр., по группе индексов I=(i1 , i2 , ...,im). если

Здесь суммирование производится по всем перестановкам группы индексов , а число равно или , если соответствующая перестановка четна или нечетна. Аналогично определяется А. по группе нижних индексов.

А. по группе индексов обозначается взятием этих индексов в квадратные скобки. Посторонние индексы, попавшие внутрь квадратных скобок, отделяются вертикальными черточками.

Напр.,

Последовательное А. по группам индексов совпадает с А. по группе индексов :

Если п - размерность векторного пространства, в к-ром определен тензор, то А. по группе индексов, количество к-рых больше п, всегда дает нулевой тензор. А. по нек-рой группе индексов тензора, симметричного (см. Симметрирование).по этой группе, также дает нулевой тензор. Тензор, не изменяющийся при. А. по нек-рой группе индексов I, наз. кососимметрическим, или альтернированным, по группе индексов I. Перестановка любой пары таких индексов ведет к изменению знака у координаты тензора.

Операция А. тензора, наряду с операцией симметрирования, применяется для разложения тензора на более простые тензоры.

Произведение двух тензоров с последующей А. по всем индексам наз. альтернированным произведением (внешним произведением).

А. применяется также для образования знакопеременных (альтернированных) сумм вида (*) с многоиндексными слагаемыми.

Напр., вычисление определителя (с коммутирующими при умножении элементами) производится по следующим формулам:

Лит.:[1] Широков П. А., Тензорное исчисление, 2 изд., Казань, 1961; [2] Беклемишев Д. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1971; [3] Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [4] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970. Л. П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985