Математическая энциклопедия - аппроксимация дифференциального оператора разностным

приближение дифференциального оператора таким зависящим от параметра оператором, результат применения к-рого к функции определяется ее значениями на нек-ром дискретном множестве точек сетке, уточняющееся при стремлении параметра (шага сетки) к нулю.

Пусть дифференциальный оператор, переводящий каждую функцию ииз класса функций в функцию из линейного нормированного пространства F. Пусть область определения функций из и в выделено нек-рое дискретное подмножество сетка ("сгущающаяся" при ). Рассматривается множество всех функций , определенных только на сетке и совпадающих в точках сетки с и. Разностным оператором наз. всякий оператор , переводящий сеточные функции из в функции из F. Говорят, что оператор аппроксимирует (аппроксимирует с порядком ) дифференциальный оператор Lна классе U, если для любой функции uОU при h->0

Иногда аппроксимацию понимают как равенство

в смысле той или иной слабой сходимости. А. д. о. р. используется для приближенного вычисления функции Lu по таблице [и]h значений функции ии для аппроксимации дифференциального уравнения разностным.

Существуют два основных приема построения оператора Lh , аппроксимирующего L.

Первый состоит в том, что определяют как результат применения дифференциального оператора Lк функции из , полученной с помощью той пли иной интерполяционной формулы из сеточной функции

Второй способ состоит в следующем. В области определения функции f из Fвводят сетку и рассматривают линейное пространство сеточных функций, определенных на Оператор строят как произведение двух операторов: оператора, переводящего функцию в сеточную функцию из , то есть в приближенную таблицу значений функции , и оператора восполнения с сетки на всю область . Напр., для приближения оператора дифференцирования

строится сетка , состоящая из точек

и сетка Dh F состоящая из точек

Значения оператора Lh[u]h в точках х k^* определяются равенствами

Затем доопределяется вне кусочно линейно с изломами, быть может, только в точках

Пусть норма в определяется формулой

Тогда на классе функций , имеющих ограниченную третью производную, при оператор аппроксимирует с порядком соответственно.

На классе функций с ограниченными вторыми производными аппроксимация при любом имеет лишь первый порядок.

Иногда задачу А. д. о. р. условно считают решенной, если указан способ построения сеточной функции

определенной только в точках сетки оставляя задачу о восполнении функции всюду на вне рассмотрения. В таком случае для определения аппроксимации пространство считают нормированным и притом относительно сетки п нормы предполагается, что для всякой функции совпадающая с ней в точках функция удовлетворяет равенству