Математическая энциклопедия - аппроксимация дифференциального уравнения разностным

приближение дифференциального уравнения системой алгебраич. уравнений относительно значений искомых функций на нек-рой сетке, к-рое уточняется при стремлении параметра (шага сетки) к нулю.

Пусть нек-рый дифференциальный оператор, а нек-рый разностный оператор (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным). Говорят, что разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение на решении ис порядком если оператор аппроксимирует оператор Lна решении ис порядком р, т. е. если

Простейший пример построения разностного уравнения , аппроксимирующего дифференциальное уравнение на решениях и, состоит в замене каждой производной, входящей в выражение аппроксимирующим ее разностным аналогом.

Напр., уравнение

аппроксимируется со 2-м порядком разностным уравнением

где сетки состоят из точек целое, значение функции в точке ; для уравнения

напр., двумя различными разностными аппроксимациями на гладких решениях являются:

(явная схема), и

(неявная схема), где сетки и состоят из точек целые, а значение функции в точке сетки. Существуют разностные операторы , аппроксимирующие дифференциальный оператор особенно хорошо только на решениях иуравнения и хуже на других функциях. Напр., оператор

где аппроксимирует оператор на

произвольных гладких функциях с первым порядком относительно , а на решениях уравнения со вторым [функция предполагается достаточно гладкой]. При численном решении краевых задач для дифференциального уравнения с помощью разностного уравнения существенны свойства аппроксимации оператора Lоператором на решениях иуравнения , а не на произвольных гладких функциях. Для широкого класса дифференциальных уравнений и систем уравнений существуют способы построения аппроксимирующих их разностных уравнений, при к-рых выполняются различные дополнительные требования: устойчивость решения относительно ошибок округления, допускаемых при вычислениях; выполнение для тех или иных интегральных соотношений, имеющих место для решения идифференциального уравнения; возможность использовать произвольные сетки и (важная при расчете движения сплошной среды); малое число арифметич. действий, необходимых для вычисления решения, и т. д.

А. д. у. р. является элементом аппроксимации дифференциальной краевой задачи разностной с целью приближенного вычисления решения первой.

Лит.:[1] Году нов С. К., Рябенький В. С., Введение в теорию разностных схем, М., 1962; [2] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [3]Годунов С. К. и др., Численное решение многомерных задач газовой динамики, М., 1976;[4]СамарскийА.